Найдите производную функции y = ctg(x) / (6x)

Question

Вопрос:

Найдите производную функции y = ctg(x) / (6x)

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: $y' = -\frac{x + \sin x \cos x}{6x^2 \sin^2 x}$** Для нахождения производной функции $y = \frac{\text{ctg } x}{6x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Пусть $u = \text{ctg } x$ и $v = 6x$. Тогда: 1. Найдём производные составляющих: $$u' = (\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$$ $$v' = (6x)' = 6$$ 2. Подставим всё в формулу производной частного: $$y' = \frac{(-\frac{1}{\sin^2 x}) \cdot 6x - \text{ctg } x \cdot 6}{(6x)^2}$$ 3. Упростим выражение: Вынесем $(-6)$ за скобку в числителе: $$y' = \frac{-6 \cdot (\frac{x}{\sin^2 x} + \text{ctg } x)}{36x^2}$$ $$y' = -\frac{\frac{x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{6x^2}$$ Приведём числитель к общему знаменателю $\sin^2 x$: $$y' = -\frac{\frac{x + \cos x \cdot \sin x}{\sin^2 x}}{6x^2}$$ $$y' = -\frac{x + \sin x \cos x}{6x^2 \sin^2 x}$$

Найдите производную функции y = ctg(x) / (6x)

Ответ ассистента

Другие решения