Стороны прямоугольника равны 8 и 12 см. Найдите его диагональ.

1. **Ответ: $4\sqrt{13}$ см** По теореме Пифагора диагональ $d$ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется как: $$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \text{ (см)}$$ 2. **Ответ: $AC = 2\sqrt{3}$ см, $BC = 4\sqrt{3}$ см** В прямоугольном треугольнике ($ \angle A = 90^\circ $): - $AC = AB \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ (см)}$ - $BC = \frac{AB}{\cos(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \text{ (см)}$ 3. **Ответ: $108$ см²** В прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям, является высотой $h$. Пусть большая боковая сторона $c=15$, меньшая (высота) $h=9$, большее основание $a=20$. - Проекция наклонной боковой стороны на основание: $x = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ (см)}$ - Меньшее основание $b = a - x = 20 - 12 = 8 \text{ (см)}$ - Площадь $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{20+8}{2} \cdot 9 = 14 \cdot 9 = 126 \text{ (см²)}$ **Допущение:** Меньшая боковая сторона является высотой трапеции. 4. **Ответ: $24\sqrt{3}$ см²** Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \text{ (см²)}$$