Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 8 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 6 см. Найдите площадь треугольника.

Question

Вопрос:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 8 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 6 см. Найдите площадь треугольника.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 74\frac{2}{3} см^2** Пусть $h = 8$ см — высота, проведённая к гипотенузе, $a_c = 6$ см — проекция одного из катетов на гипотенузу, $b_c$ — проекция второго катета на гипотенузу. 1. Используем метрическое соотношение в прямоугольном треугольнике: квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу. $$h^2 = a_c \cdot b_c$$ $$8^2 = 6 \cdot b_c$$ $$64 = 6 \cdot b_c$$ $$b_c = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} (см)$$ 2. Найдём длину всей гипотенузы $c$: $$c = a_c + b_c = 6 + 10\frac{2}{3} = 16\frac{2}{3} (см)$$ 3. Вычислим площадь треугольника $S$ через гипотенузу и высоту: $$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 16\frac{2}{3} \cdot 8 = 4 \cdot \frac{50}{3} = \frac{200}{3} = 66\frac{2}{3} (см^2)$$ **Допущение:** В расчётах выше найдена площадь. Перепроверим: $4 \times 16,666 = 66,666$. Исправим итоговый расчёт: $$S = 4 \cdot 16\frac{2}{3} = 64 + \frac{8}{3} = 64 + 2\frac{2}{3} = 66\frac{2}{3} (см^2)$$ **Ответ: 66\frac{2}{3} см^2**

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 8 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 6 см. Найдите площадь треугольника.

Ответ ассистента

Другие решения