Вычислите значение выражения 4cos(5π/6)sin(5π/6) + 3tg²(5π/6) и упростите тригонометрические выражения.

3) **Ответ: -\sqrt{3} + 1** Для вычисления используем значения тригонометрических функций для угла $\frac{5\pi}{6}$ ($150^\circ$): $\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$ $\text{tg } \frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ Подставим в выражение: $$4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + 3 \cdot \frac{1}{3} = -\sqrt{3} + 1$$ 4) **Ответ: 1** Значения функций: $\text{tg } \frac{3\pi}{4} = -1$ $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$ $\text{ctg } \frac{\pi}{2} = 0$ $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Подставим: $$(-1) \cdot (-1) - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 0 = 1$$ **30. Упростите выражения:** 1) **Ответ: 1** Используем формулу $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$: $$(1 + \text{tg}^2\alpha) \cos^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = 1$$ 2) **Ответ: $\text{tg}\alpha \text{tg}\beta$** Выразим котангенсы через тангенсы: $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$: $$\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta}} = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{\text{tg}\beta + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}} = (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \cdot \frac{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} = \text{tg}\alpha \text{tg}\beta$$ 3) **Ответ: $\text{ctg}^6\alpha$** Разложим числитель и знаменатель: $$\frac{\cos^2\alpha - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\sin^2\alpha - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^2\alpha(1 - \frac{1}{\sin^2\alpha})}{\sin^2\alpha(1 - \frac{1}{\cos^2\alpha})} = \frac{\cos^2\alpha(\frac{\sin^2\alpha - 1}{\sin^2\alpha})}{\sin^2\alpha(\frac{\cos^2\alpha - 1}{\cos^2\alpha})} = \frac{\cos^2\alpha \cdot \frac{-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\sin^2\alpha \cdot \frac{-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{-\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}{-\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^6\alpha}{\sin^6\alpha} = \text{ctg}^6\alpha$$