Найдите значение выражения ((27^(4/7) * 9^(2/3))^21) / 18^12

Задание №16 **Ответ: 3** Решение: 1. Представим основания через простые множители: $27 = 3^3$, $9 = 3^2$, $18 = 2 \cdot 3^2$. 2. Упростим числитель: $$\left((3^3)^{\frac{4}{7}} \cdot (3^2)^{\frac{2}{3}}\right)^{21} = \left(3^{\frac{12}{7}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}\right)^{21} = (3^{\frac{12}{7}})^{21} \cdot (3^{\frac{4}{3}})^{21} = 3^{36} \cdot 3^{28} = 3^{64}$$ 3. Упростим знаменатель: $$18^{12} = (2 \cdot 3^2)^{12} = 2^{12} \cdot 3^{24}$$ **Допущение:** Вероятно, в условии опечатка в основании числителя или знаменателя, так как $2^{12}$ не сокращается. Если в числителе первое число $2^{\frac{4}{7}}$, тогда: $$\frac{(2^{\frac{4}{7}} \cdot 9^{\frac{2}{3}})^{21}}{18^{12}} = \frac{2^{12} \cdot 3^{28}}{2^{12} \cdot 3^{24}} = 3^{28-24} = 3^4 = 81$$ При точном прочтении «27» решение выше приводит к $3^{40}/2^{12}$. Задание №17 **Ответ: 6** Решение: 1. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,75 = \frac{3}{4}$. 2. Сгруппируем множители: $$\frac{3}{4}^{\frac{1}{8}} \cdot 4^{\frac{1}{4}} \cdot 12^{\frac{7}{8}} = \frac{3^{\frac{1}{8}}}{4^{\frac{1}{8}}} \cdot 4^{\frac{2}{8}} \cdot (3 \cdot 4)^{\frac{7}{8}} = \frac{3^{\frac{1}{8}}}{4^{\frac{1}{8}}} \cdot 4^{\frac{2}{8}} \cdot 3^{\frac{7}{8}} \cdot 4^{\frac{7}{8}}$$ 3. Сложим показатели степеней: $$3^{\frac{1}{8} + \frac{7}{8}} \cdot 4^{-\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{7}{8}} = 3^1 \cdot 4^1 = 3 \cdot 4 = 12$$ **Допущение:** Если в примере $0,75^{\frac{1}{8}} \cdot 4^{\frac{1}{4}} \cdot 12^{\frac{7}{8}}$, ответ 12. Задание №18 **Ответ: 36** Решение: 1. Запишем выражение, используя свойства степеней: $$12^{3,2} \cdot 6^{-2,2} : 2^{2,2} = \frac{12^{3,2}}{6^{2,2} \cdot 2^{2,2}} = \frac{12^{3,2}}{(6 \cdot 2)^{2,2}} = \frac{12^{3,2}}{12^{2,2}}$$ 2. Вычтем показатели: $$12^{3,2 - 2,2} = 12^1 = 12$$ Задание №19 **Ответ: 2** Решение: 1. Приведем к основанию 2: $$8 = 2^3, \quad 16 = 2^4$$ 2. Подставим в выражение: $$\frac{(2^3)^{3,4}}{(2^4)^{2,3}} = \frac{2^{10,2}}{2^{9,2}}$$ 3. Вычтем показатели: $$2^{10,2 - 9,2} = 2^1 = 2$$