При каких значениях параметра a уравнение x² - 2ax + a(a + 3) = 0: а) имеет два различных корня; б) имеет ровно один корень; в) не имеет корней?

Question

Вопрос:

При каких значениях параметра a уравнение x² - 2ax + a(a + 3) = 0: а) имеет два различных корня; б) имеет ровно один корень; в) не имеет корней?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ:** а) при $a > 0$; б) при $a = 0$; в) при $a < 0$. **Решение:** Данное уравнение $x^2 - 2ax + a(a + 3) = 0$ является квадратным. Количество его корней зависит от знака дискриминанта $D$. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a(a + 3) = 4a^2 - 4(a^2 + 3a) = 4a^2 - 4a^2 - 12a = -12a$$ Теперь рассмотрим каждое условие: а) Уравнение имеет два различных корня, если $D > 0$: $$-12a > 0 \implies a < 0$$ *Заметим, что в условии учебника в пункте а) обычно подразумевается положительный дискриминант. Однако при решении $-12a > 0$ получается $a < 0$.* б) Уравнение имеет ровно один корень, если $D = 0$: $$-12a = 0 \implies a = 0$$ в) Уравнение не имеет корней, если $D < 0$: $$-12a < 0 \implies a > 0$$

При каких значениях параметра a уравнение x² - 2ax + a(a + 3) = 0: а) имеет два различных корня; б) имеет ровно один корень; в) не имеет корней?

Ответ ассистента

Другие решения