Площадь прямоугольного треугольника 180 см². Найдите катеты треугольника, если их сумма 39 см.

2. **Ответ: 15 см и 24 см** Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, а их сумма по условию $a + b = 39$. Получаем систему уравнений: $$\begin{cases} \frac{1}{2}ab = 180 \\ a + b = 39 \end{cases}$$ $$\begin{cases} ab = 360 \\ b = 39 - a \end{cases}$$ Подставим второе во второе уравнение: $$a(39 - a) = 360$$ $$39a - a^2 - 360 = 0$$ $$a^2 - 39a + 360 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 1521 - 1440 = 81 = 9^2$$ $$a_1 = \frac{39 + 9}{2} = 24, \quad a_2 = \frac{39 - 9}{2} = 15$$ Если $a = 24$, то $b = 15$. Если $a = 15$, то $b = 24$. 3. **Ответ: 10 дм и 24 дм** Пусть $x$ и $y$ — стороны прямоугольника. Разность сторон $x - y = 14$. Диагональ образует с двумя сторонами прямоугольный треугольник, поэтому по теореме Пифагора $x^2 + y^2 = 26^2$. $$\begin{cases} x - y = 14 \\ x^2 + y^2 = 676 \end{cases}$$ Выразим $x$: $x = 14 + y$ и подставим во второе уравнение: $$(14 + y)^2 + y^2 = 676$$ $$196 + 28y + y^2 + y^2 = 676$$ $$2y^2 + 28y - 480 = 0$$ $$y^2 + 14y - 240 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156 = 34^2$$ $$y_1 = \frac{-14 + 34}{2} = 10, \quad y_2 = \frac{-14 - 34}{2} = -24 \text{ (не подходит)}$$ Если $y = 10$, то $x = 10 + 14 = 24$.