Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и 16 см.

Для решения этих задач воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике: $h^2 = a_c \cdot b_c$ (квадрат высоты равен произведению проекций катетов) и $a^2 = a_c \cdot c$ (квадрат катета равен произведению его проекции на гипотенузу). 163. **Ответ: 8 см** Пусть $h$ — высота. Она делит гипотенузу на отрезки $a_c = 4$ см и $b_c = 16$ см. $$h^2 = 4 \cdot 16 = 64$$ $$h = \sqrt{64} = 8\text{ (см)}$$ 164. **Ответ: 8√3 см и 16√3 см** Проекции катетов $a_c = 8$ см и $b_c = 24$ см. Гипотенуза $c = 8 + 24 = 32$ см. 1) $a^2 = a_c \cdot c = 8 \cdot 32 = 256 \implies a = 16\text{ (см)}$ 2) $b^2 = b_c \cdot c = 24 \cdot 32 = 768 \implies b = \sqrt{768} = 16\sqrt{3}\text{ (см)}$ 165. **Ответ: 16 см** Катет $a = 8$ см, его проекция $a_c = 4$ см. Найдём гипотенузу $c$: $$a^2 = a_c \cdot c \implies 8^2 = 4 \cdot c$$ $$64 = 4c \implies c = 16\text{ (см)}$$ 166. **Ответ: h = 2√10 см; боковая сторона = √65 см** Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, боковой стороной и основанием. Высота трапеции $h$ делит большее основание ($13$ см) на отрезки. Отрезок от вершины до высоты равен $(13-5)/2 = 4$ см (для равнобокой трапеции). Тогда проекции боковой стороны и диагонали на основание равны $4$ см и $13-4=9$ см. 1) $h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \implies h = 6\text{ (см)}$ — *исправление: если диагональ перпендикулярна боковой стороне, то $h^2$ равно произведению частей, на которые высота делит гипотенузу-основание.* Однако, стандартно в таких задачах: проекции равны $4$ и $9$. $$h = \sqrt{4 \cdot 9} = 6\text{ (см)}$$ Боковая сторона $c$: $$c^2 = 4 \cdot 13 = 52 \implies c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\text{ (см)}$$ 167. **Ответ: 10 см и 10√13 / 3 см (или 15 см и 30 см)** В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник (четверть ромба). Высота из прямого угла делит гипотенузу (сторону ромба) на $3$ и $12$ см. 1) Половина одной диагонали $d_1/2 = \sqrt{3 \cdot (3+12)} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ 2) Половина второй диагонали $d_2/2 = \sqrt{12 \cdot 15} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ Диагонали: $6\sqrt{5}$ см и $12\sqrt{5}$ см. 168. **Ответ: 30 см** В прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна диаметру вписанной окружности. Отрезки другой боковой стороны $3$ и $12$ см. 1) Длина этой стороны $3 + 12 = 15$ см. 2) Радиус $r^2 = 3 \cdot 12 = 36 \implies r = 6$ см. Диаметр (высота) $h = 12$ см. 3) Основания: $a = r + 3 = 6 + 3 = 9$ см, $b = r + 12 = 6 + 12 = 18$ см. $P = 12 + 15 + 9 + 18 = 54$ см. 169. **Ответ: r = 12 см; основания 16 см и 36 см** $r^2 = 8 \cdot 18 = 144 \implies r = 12$ см. Основания равнобокой трапеции: $a = 2 \cdot 8 = 16$ см, $b = 2 \cdot 18 = 36$ см. 170. **Построение:** Нужно построить прямоугольный треугольник с катетом $1$ см и гипотенузой $2$ см, тогда второй катет будет $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. Или построить высоту в прямоугольном треугольнике, где проекции на гипотенузу равны $1$ см и $3$ см ($h = \sqrt{1 \cdot 3} = \sqrt{3}$).