Решите уравнения: 1) (x-2)/(x+3) - 30/(x²-9) = 1/6; 2) (x-2)/(x+1) + 5/(x-1) = 6/(x²-1); 3) (x-9)/(x+1) - (x+3)/(1-x) = 8/(x²-1); 4) (x+1)/(x-2) + 9/((x-2)(x-5)) = (x-2)/(x-5).

Привет! Давай решим эти уравнения по порядку. Основной метод здесь — приведение дробей к общему знаменателю и решение полученного целого уравнения с учётом области допустимых значений (ОДЗ). 1. $$\frac{x-2}{x+3} - \frac{30}{x^2-9} = \frac{1}{6}$$ **Ответ: $x_1 = 9, x_2 = -7$** *Решение:* Общий знаменатель: $6(x-3)(x+3)$. ОДЗ: $x \neq \pm 3$. $$6(x-2)(x-3) - 30 \cdot 6 = (x^2 - 9)$$ $$6(x^2 - 5x + 6) - 180 = x^2 - 9$$ $$6x^2 - 30x + 36 - 180 = x^2 - 9$$ $$5x^2 - 30x - 135 = 0 \quad | : 5$$ $$x^2 - 6x - 27 = 0$$ По теореме Виета: $x_1 = 9, x_2 = -3$ (не подходит по ОДЗ), стоп, пересчитаем дискриминант: $$D = 36 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$$ $$x_1 = \frac{6+12}{2} = 9; \quad x_2 = \frac{6-12}{2} = -3 \text{ (не вх. в ОДЗ)}$$ Извиняюсь, верный **Ответ: 9**. 2. $$\frac{x-2}{x+1} + \frac{5}{x-1} = \frac{6}{x^2-1}$$ **Ответ: $x = 3$** *Решение:* Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)$. ОДЗ: $x \neq \pm 1$. $$(x-2)(x-1) + 5(x+1) = 6$$ $$x^2 - 3x + 2 + 5x + 5 = 6$$ $$x^2 + 2x + 1 = 0$$ $$(x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1 \text{ (не вх. в ОДЗ)}$$ **Ответ: корней нет**. 3. $$\frac{x-9}{x+1} - \frac{x+3}{1-x} = \frac{8}{x^2-1}$$ **Ответ: $x = 2$** *Решение:* Заметим, что $1-x = -(x-1)$. Уравнение примет вид: $$\frac{x-9}{x+1} + \frac{x+3}{x-1} = \frac{8}{(x-1)(x+1)}$$ ОДЗ: $x \neq \pm 1$. $$(x-9)(x-1) + (x+3)(x+1) = 8$$ $$x^2 - 10x + 9 + x^2 + 4x + 3 = 8$$ $$2x^2 - 6x + 4 = 0 \quad | : 2$$ $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ По теореме Виета: $x_1 = 2, x_2 = 1$ (не вх. в ОДЗ). 4. $$\frac{x+1}{x-2} + \frac{9}{(x-2)(x-5)} = \frac{x-2}{x-5}$$ **Ответ: корней нет** *Решение:* Общий знаменатель: $(x-2)(x-5)$. ОДЗ: $x \neq 2, x \neq 5$. $$(x+1)(x-5) + 9 = (x-2)^2$$ $$x^2 - 4x - 5 + 9 = x^2 - 4x + 4$$ $$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 4x + 4$$ $$0 = 0$$ Равенство верно при любом $x$ из ОДЗ. **Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; 5) \cup (5; +\infty)$**