Найдите площадь прямоугольной трапеции с основаниями 4 см и 12 см, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

**Ответ: 48 \text{ см}^2** **Решение:** 1. Воспользуемся свойством описанного четырёхугольника: если в трапецию можно вписать окружность, то сумма длин её оснований равна сумме длин её боковых сторон. Пусть основания трапеции $a = 4\text{ см}$ и $b = 12\text{ см}$, а боковые стороны — $c$ (меньшая, перпендикулярная основаниям) и $d$ (большая, наклонная). $$a + b = c + d$$ $$4 + 12 = c + d \Rightarrow c + d = 16$$ 2. Проведём высоту $h$ из вершины тупого угла к большему основанию. В прямоугольной трапеции высота $h$ равна меньшей боковой стороне $c$. Высота отсекает от большего основания отрезок, равный разности оснований: $$\Delta b = b - a = 12 - 4 = 8\text{ см}$$ 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, наклонной стороной $d$ и отрезком $\Delta b$. По теореме Пифагора: $$d^2 = h^2 + (\Delta b)^2$$ Так как $h = c$, то $d^2 = c^2 + 8^2$. 4. Из уравнения $c + d = 16$ выразим $d = 16 - c$ и подставим в уравнение Пифагора: $$(16 - c)^2 = c^2 + 64$$ $$256 - 32c + c^2 = c^2 + 64$$ $$32c = 192$$ $$c = 6\text{ см}$$ Следовательно, высота трапеции $h = 6\text{ см}$. 5. Найдём площадь трапеции по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$: $$S = \frac{4 + 12}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48\text{ см}^2$$