В треугольнике ABC известно, что AB=15, BC=8, sin ∠ABC = 5/6. Найдите площадь треугольника ABC.

**Ответ: 60** Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и синусу угла между ними используется формула: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$ Подставим значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \cdot \frac{5}{6} = 4 \cdot 15 \cdot \frac{5}{6} = 60 \cdot \frac{5}{6} = 10 \cdot 5 = 50$$ **Допущение:** На изображении текст первой задачи обрезан. Исходя из контекста (даны две стороны и синус угла между ними), требовалось найти площадь треугольника $ABC$. 7. **Ответ: $AC = 6$** Используем теорему синусов: $$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$ $$\frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 30^{\circ}}$$ $$\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}$$ $$12 = 2AC \Rightarrow AC = 6$$ 8. **Ответ: $\cos \angle ABC = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{45}{60} = 0,75$** Используем теорему косинусов для стороны $AC$: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$$ $$4^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos \angle ABC$$ $$16 = 25 + 36 - 60 \cdot \cos \angle ABC$$ $$60 \cdot \cos \angle ABC = 45$$ $$\cos \angle ABC = \frac{45}{60} = 0,75$$ 9. **Ответ: $R = 12$** Используем следствие из теоремы синусов: $$\frac{AB}{\sin C} = 2R$$ $$\frac{12\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} = 2R$$ $$\frac{12\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$$ $$24 = 2R \Rightarrow R = 12$$