Отрезок SA длиной 15 см — перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором AC = 10 см, AB = 6 см. а) Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскость прямоугольника имеют равные площади. б) Найдите расстояние от точки S до прямой CD.

**1.** а) Проекцией точки $S$ на плоскость $ABCD$ является точка $A$, так как $SA \perp (ABCD)$. Проекцией треугольника $SBC$ является треугольник $ABC$, а проекцией треугольника $SDC$ — треугольник $ADC$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, его диагональ $AC$ делит его на два равных прямоугольных треугольника $ABC$ и $ADC$. Площади равных фигур равны: $S_{ABC} = S_{ADC}$. б) **Ответ: $3\sqrt{29}$ см (или $\approx 16,16$ см)** 1. Найдем сторону $AD$ прямоугольника $ABCD$ по теореме Пифагора из $\triangle ABC$: $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$ см. Значит, $AD = BC = 8$ см. 2. Так как $SA \perp (ABCD)$ и $AD \perp CD$, то по теореме о трех перпендикулярах $SD \perp CD$. Расстояние от $S$ до $CD$ — это длина отрезка $SD$. 3. Из прямоугольного $\triangle SAD$ ($SA=15, AD=8$): $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см. **2. Ответ: $a \cdot \text{ctg} \, \alpha \cdot \text{tg} \, \beta$** 1. Из $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $AC = CB \cdot \text{ctg} \, A = a \cdot \text{ctg} \, \alpha$. 2. Т.к. $DC \perp CA$ и $DC \perp CB$, то $DC \perp (ABC)$. Значит, $DC$ — искомое расстояние (перпендикуляр). 3. Пусть $DK \perp AB$. По теореме о трех перпендикулярах $CK \perp AB$. Угол между наклонной $DK$ и плоскостью $ABC$ — это $\angle DKC = \beta$. 4. В $\triangle ABC$ высота $CK = AC \cdot \sin \alpha = (a \cdot \text{ctg} \, \alpha) \cdot \sin \alpha = a \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = a \cos \alpha$. 5. Из $\triangle DCK$ ($\angle C = 90^\circ$): $DC = CK \cdot \text{tg} \, \beta = a \cos \alpha \cdot \text{tg} \, \beta$. **3.** 1. Пусть $\angle DAO = \angle DBO = \angle DCO = \varphi$ — углы между ребрами и плоскостью $ABC$ (т.к. $DO \perp (ABC)$, то $OA, OB, OC$ — проекции ребер). 2. Прямоугольные треугольники $DOA, DOB$ и $DOC$ равны по катету ($DO$ — общий) и острому углу $\varphi$. 3. Из равенства треугольников следует: $OA = OB = OC$. 4. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$, следовательно, она является центром описанной около него окружности.