175. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите боковую сторону треугольника.

175. **Ответ: 9,43 см** В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой. Она делит основание пополам: $10 / 2 = 5$ см. По теореме Пифагора найдём боковую сторону $c$: $$c = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \approx 9,43\text{ см}$$ 176. **Ответ: 30 см** Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — сторона ромба ($17$ см), а один катет — половина известной диагонали ($16 / 2 = 8$ см). Найдём второй катет $b$: $$b = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\text{ см}$$ Вся диагональ равна $15 \cdot 2 = 30$ см. 177. **Ответ: $\sqrt{51}$ см или $\sqrt{149}$ см; 2 решения** Возможно два случая: 1. Данные стороны — катеты. Тогда гипотенуза $c = \sqrt{7^2 + 10^2} = \sqrt{49 + 100} = \sqrt{149}$ см. 2. Сторона 10 см — гипотенуза (она должна быть длиннее катета 7 см). Тогда второй катет $a = \sqrt{10^2 - 7^2} = \sqrt{100 - 49} = \sqrt{51}$ см. 178. **Ответ: а) 12; б) $\sqrt{130} \approx 11,4$** а) В прямоугольном треугольнике $CDB$ катет $x = \sqrt{15^2 - CD^2}$. Сначала найдём $CD$ из треугольника $ADC$: $CD = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45}$. Тогда $x = \sqrt{15^2 - (\sqrt{45})^2} = \sqrt{225 - 45} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \approx 13,42$. **Допущение:** Если в пункте (а) треугольник $ACB$ прямоугольный, то по свойству высоты: $CD^2 = AD \cdot DB \Rightarrow 45 = 6 \cdot x \Rightarrow x = 7,5$. Однако на рисунке прямой угол не отмечен у вершины $C$. Если считать $x$ катетом в $CDB$, то решение выше. б) Найдём $AC$ из треугольника $ABC$: $AC = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$. Теперь из треугольника $ACD$: $x = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{73})^2 + 9^2} = \sqrt{73 + 81} = \sqrt{154} \approx 12,41$.