Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если: а) AB=5 см, AC=7,5 см, ∠A=135°; б) AB=2√2 дм, BC=3 дм, ∠B=45°; в) AC=0,6 м, BC=√3/4 дм, ∠C=150°.

Для решения треугольника нужно найти длины всех его сторон и меры всех углов. Используем теорему косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha$. **а) Ответ: $BC \approx 11,6$ см, $\angle B \approx 27^{\circ}$, $\angle C \approx 18^{\circ}$** 1. Найдём сторону $BC$: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$$ $$BC^2 = 5^2 + 7,5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7,5 \cdot \cos 135^{\circ} = 25 + 56,25 - 75 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 81,25 + 53,03 = 134,28$$ $$BC = \sqrt{134,28} \approx 11,59 \text{ (см)}$$ 2. Найдём угол $B$ (через теорему косинусов или синусов): $$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{25 + 134,28 - 56,25}{2 \cdot 5 \cdot 11,59} \approx \frac{103,03}{115,9} \approx 0,889 \Rightarrow \angle B \approx 27^{\circ} 15'$$ 3. Найдём угол $C$: $$\angle C = 180^{\circ} - (135^{\circ} + 27^{\circ} 15') = 17^{\circ} 45' \approx 18^{\circ}$$ **б) Ответ: $AC = \sqrt{5}$ дм, $\angle A \approx 71,5^{\circ}$, $\angle C \approx 63,5^{\circ}$** 1. Найдём сторону $AC$: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$ $$AC^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \cos 45^{\circ} = 8 + 9 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 17 - 12 = 5$$ $$AC = \sqrt{5} \approx 2,24 \text{ (дм)}$$ 2. Найдём угол $A$: $$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{8 + 5 - 9}{2 \cdot 2,83 \cdot 2,24} = \frac{4}{12,68} \approx 0,315 \Rightarrow \angle A \approx 71,6^{\circ}$$ 3. Найдём угол $C$: $$\angle C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 71,6^{\circ}) = 63,4^{\circ}$$ **в) Допущение: переведем AC в дециметры ($0,6$ м = $6$ дм) для единых единиц измерения.** **Ответ: $AB \approx 6,34$ дм, $\angle A \approx 2^{\circ}$, $\angle B \approx 28^{\circ}$** 1. Найдём сторону $AB$: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$$ $$AB^2 = 6^2 + (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 - 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \cos 150^{\circ} = 36 + \frac{3}{16} - 3\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 36 + 0,1875 + 4,5 = 40,6875$$ $$AB = \sqrt{40,6875} \approx 6,38 \text{ (дм)}$$ 2. Найдём угол $A$: $$\cos A = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} = \frac{36 + 40,69 - 0,19}{2 \cdot 6 \cdot 6,38} \approx \frac{76,5}{76,56} \approx 0,999 \Rightarrow \angle A \approx 2^{\circ} 30'$$ 3. Найдём угол $B$: $$\angle B = 180^{\circ} - (150^{\circ} + 2,5^{\circ}) = 27,5^{\circ}$$