Question

Найти производную функций: 1) (3x²+2)(3x⁴-1), 2) (2x²-6x³)(7x²+3x), 3) (2x²-3x)(3x²+2x⁵), 4) (x⁵+x³+x)/(x+1), 5) (x²-1)/(x²+1)

Accepted Answer

Чтобы найти производную функции, мы будем использовать правила дифференцирования произведения $(f \cdot g)' = f'g + fg'$ и частного $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$.

1. $y = (3x^2 + 2)(3x^4 - 1)$
Раскроем скобки для упрощения: $y = 9x^6 - 3x^2 + 6x^4 - 2$
Ответ: $y' = 54x^5 + 24x^3 - 6x$

2. $y = (2x^2 - 6x^3)(7x^2 + 3x)$
Раскроем скобки: $y = 14x^4 + 6x^3 - 42x^5 - 18x^4 = -42x^5 - 4x^4 + 6x^3$
Ответ: $y' = -210x^4 - 16x^3 + 18x^2$

3. $y = (2x^2 - 3x)(3x^2 + 2x^5)$
Раскроем скобки: $y = 6x^4 + 4x^7 - 9x^3 - 6x^6$
Ответ: $y' = 28x^6 - 36x^5 + 24x^3 - 27x^2$

4. $y = \frac{x^5 + x^3 + x}{x + 1}$
Применим правило частного:
$y' = \frac{(5x^4 + 3x^2 + 1)(x + 1) - (x^5 + x^3 + x)(1)}{(x + 1)^2}$
$y' = \frac{5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1 - x^5 - x^3 - x}{(x + 1)^2}$
Ответ: $y' = \frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x + 1)^2}$

5. $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
Применим правило частного:
$y' = \frac{(2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2}$
Ответ: $y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$

Найти производную функций: 1) (3x²+2)(3x⁴-1), 2) (2x²-6x³)(7x²+3x), 3) (2x²-3x)(3x²+2x⁵), 4) (x⁵+x³+x)/(x+1), 5) (x²-1)/(x²+1)

Ответ ассистента

Другие решения