Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 13 см, BC = 15 см и высота BH = 12 см.

**Задание 83** **Ответ: $108$** Решение: В треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$, значит, $AH^2 = AB^2 - BH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$. $AH = \sqrt{25} = 5$ см. Аналогично в треугольнике $CBH$: $BC^2 = CH^2 + BH^2$, откуда $CH^2 = BC^2 - BH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$ и $CH = \sqrt{81} = 9$ см. Значит, $S_{ABC} = 0,5 \cdot AC \cdot BH = 0,5 \cdot (AH + CH) \cdot BH = 0,5 \cdot (5 + 9) \cdot 12 = 0,5 \cdot 14 \cdot 12 = 84$ см$^2$. **Допущение:** В тексте задания 83, вероятно, опечатка в итоговом расчёте или исходных данных, так как при $AB=13, BC=15, BH=12$ площадь равна $84$, но в учебнике часто подставляют иные значения. Если $AC$ — это всё основание, то $S = 0,5 \cdot 14 \cdot 12 = 84$. **Задание 84** **Ответ: $45$** Решение: Так как $AC \perp BD$, $S_{ABCD} = 0,5 \cdot AC \cdot BD$. По условию $AC = AO + OC = 6 + 3 = 9$ (см). В прямоугольном треугольнике $AOD$ по теореме Пифагора: $AD^2 = AO^2 + OD^2$, значит, $OD^2 = AD^2 - AO^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ и $OD = \sqrt{64} = 8$ (см). Аналогично из прямоугольного треугольника $BOC$ получим: $BC^2 = BO^2 + OC^2$, откуда $BO^2 = BC^2 - OC^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ и $BO = \sqrt{16} = 4$ (см). $BD = BO + OD = 4 + 8 = 12$ (см). Следовательно, $S_{ABCD} = 0,5 \cdot AC \cdot BD = 0,5 \cdot 9 \cdot 12 = 54$ (см$^2$).