Из центра O квадрата ABCD со стороной 16 см к его плоскости проведен перпендикуляр OM длиной 24 см. Найдите площадь треугольника ABM.

**Ответ: 200 см$^2$** 1. Найдём расстояние от центра $O$ квадрата $ABCD$ до его стороны $AB$. Так как $O$ — центр квадрата со стороной $a = 16$ см, то это расстояние (апофема) $OK$ равно половине стороны: $$OK = \frac{16}{2} = 8\text{ (см)}$$ 2. По теореме о трёх перпендикулярах, отрезок $MK$, где $K$ — середина $AB$, является высотой треугольника $ABM$, так как $OM \perp (ABC)$ и $OK \perp AB$. 3. Найдём высоту $MK$ из прямоугольного треугольника $MOK$ по теореме Пифагора: $$MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{24^2 + 8^2} = \sqrt{576 + 64} = \sqrt{640} = 8\sqrt{10}\text{ (см)}$$ 4. Вычислим площадь треугольника $ABM$: $$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8\sqrt{10} = 64\sqrt{10}\text{ (см}^2\text{)}$$ **Ответ: $\sqrt{209}$ см (или $\approx 14,46$ см)** 1. В треугольнике $ABC$ ($AB=AC=17$ см, $BC=16$ см) проведём высоту $AH$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике она является медианой, значит $BH = 8$ см. 2. Из треугольника $ABH$ по теореме Пифагора: $$AH = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\text{ (см)}$$ 3. Отрезок $AM$ перпендикулярен плоскости $ABC$, значит $AM \perp AH$. По теореме о трёх перпендикулярах искомое расстояние от $M$ до $BC$ — это отрезок $MH$. 4. Из треугольника $MAH$ по теореме Пифагора: $$MH = \sqrt{AM^2 + AH^2} = \sqrt{15^2 + 15^2} = \sqrt{225 + 225} = 15\sqrt{2}\text{ (см)}$$ **Ответ: $4\sqrt{7}$ см (или $\approx 10,58$ см)** 1. В правильном треугольнике $ABC$ со стороной $a = 16$ см расстояние от центра $O$ до стороны $AB$ (радиус вписанной окружности $r$) вычисляется по формуле: $$r = OK = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{16\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ (см)}$$ 2. Искомое расстояние от точки $M$ до стороны $AB$ — это гипотенуза $MK$ прямоугольного треугольника $MOK$ (по теореме о трёх перпендикулярах). 3. По теореме Пифагора: $$MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{8^2 + \left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{64 + \frac{64 \cdot 3}{9}} = \sqrt{64 + \frac{64}{3}} = \sqrt{\frac{192 + 64}{3}} = \sqrt{\frac{256}{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}\text{ (см)}$$