Решите задачи 2, 3 и 4 по готовым чертежам прямоугольных треугольников.

2. **Ответ: $KN = 15$** В прямоугольном треугольнике $NKM$ ($\angle K = 90^{\circ}$) сумма острых углов равна $90^{\circ}$: $\angle N + \angle M = 90^{\circ}$. Зная, что $\angle N = 2 \angle M$, получаем: $2 \angle M + \angle M = 90^{\circ} \Rightarrow 3 \angle M = 90^{\circ} \Rightarrow \angle M = 30^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы: $KN = \frac{1}{2} MN$, или $MN = 2 KN$. Подставим это в условие $MN - KN = 15$: $2 KN - KN = 15 \Rightarrow KN = 15$. 3. **Ответ: $PN = 9, MP = 27$** В треугольнике $NKM$ ($\angle K = 90^{\circ}$) против угла $\angle M = 30^{\circ}$ лежит катет $NK$: $NK = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$. В треугольнике $NKP$ ($\angle P = 90^{\circ}$) угол $\angle N = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$, тогда второй острый угол $\angle NKP = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Катет $PN$ лежит против $\angle NKP = 30^{\circ}$: $PN = \frac{1}{2} NK = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$. Тогда $MP = MN - PN = 36 - 9 = 27$. 4. **Ответ: $QS = 54$** В прямоугольном треугольнике $PSR$ ($\angle S = 90^{\circ}$) угол $\angle PRS = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Катет $PS = 18$ лежит против угла в $30^{\circ}$, значит гипотенуза $PR = 2 \cdot PS = 2 \cdot 18 = 36$. В большом прямоугольном треугольнике $PRQ$ ($\angle R = 90^{\circ}$) угол $\angle Q = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Катет $PR$ лежит против угла $\angle Q = 30^{\circ}$, значит вся гипотенуза $PQ = 2 \cdot PR = 2 \cdot 36 = 72$. Тогда отрезок $QS = PQ - PS = 72 - 18 = 54$.