1. Найдите неопределённый интеграл: а) ∫(2 sin x - 8x³ + 1)dx

**1. Найдите неопределённый интеграл:** а) $\int(2 \sin x - 8x^3 + 1) dx = -2 \cos x - \frac{8x^4}{4} + x + C = -2 \cos x - 2x^4 + x + C$ б) $\int \frac{1}{(x + 1)^2} dx = \int (x + 1)^{-2} d(x + 1) = \frac{(x + 1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x + 1} + C$ в) $\int \sin 2x \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int \sin 4x dx = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{4} \cos 4x) + C = -\frac{1}{8} \cos 4x + C$ **2. Ускорение прямолинейного движения материальной точки задаётся формулой $a(t) = 6t - 5$. Найдите закон изменения скорости и закон движения, если $v(2) = 3$, $s(2) = 2$.** 1) Найдём скорость $v(t)$ как интеграл от ускорения: $v(t) = \int (6t - 5) dt = 3t^2 - 5t + C_1$ Используем условие $v(2) = 3$: $3(2)^2 - 5(2) + C_1 = 3 \Rightarrow 12 - 10 + C_1 = 3 \Rightarrow 2 + C_1 = 3 \Rightarrow C_1 = 1$ Закон скорости: $v(t) = 3t^2 - 5t + 1$ 2) Найдём закон движения $s(t)$ как интеграл от скорости: $s(t) = \int (3t^2 - 5t + 1) dt = t^3 - 2,5t^2 + t + C_2$ Используем условие $s(2) = 2$: $(2)^3 - 2,5(2)^2 + 2 + C_2 = 2 \Rightarrow 8 - 10 + 2 + C_2 = 2 \Rightarrow 0 + C_2 = 2 \Rightarrow C_2 = 2$ Закон движения: $s(t) = t^3 - 2,5t^2 + t + 2$ **3. Сравните числа $F(a)$ и $F(b)$, если известно, что функция $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, где $f(x) = e^{2x - 3}$, $a = -2$, $b = 1$.** Так как $f(x) = e^{2x - 3} > 0$ для любого $x$, то первообразная $F(x)$ является возрастающей функцией на всей числовой прямой. Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Так как $a = -2$ и $b = 1$, то $a < b$. Следовательно, $F(a) < F(b)$. **Ответ: $F(a) < F(b)$**