Зная, что 6 < x < 7 и 10 < y < 12, оцените: а) x + y; б) y - x; в) xy; г) y/x

**Ответ:** а) **$16 < x + y < 19$** б) **$3 < y - x < 6$** в) **$60 < xy < 84$** г) **$1\frac{3}{7} < \frac{y}{x} < 2$** **Решение:** Для оценки выражений используем свойства неравенств для положительных чисел $6 < x < 7$ и $10 < y < 12$: а) Сложим неравенства почленно: $$6 + 10 < x + y < 7 + 12$$ $$16 < x + y < 19$$ б) Чтобы оценить разность $y - x$, нужно к $y$ прибавить $-x$. Сначала умножим неравенство для $x$ на $-1$ (знаки меняются): $$-7 < -x < -6$$ Теперь сложим с неравенством для $y$: $$10 + (-7) < y - x < 12 + (-6)$$ $$3 < y - x < 6$$ в) Перемножим неравенства почленно (так как все части положительны): $$6 \cdot 10 < xy < 7 \cdot 12$$ $$60 < xy < 84$$ г) Чтобы оценить частное $\frac{y}{x}$, нужно $y$ умножить на $\frac{1}{x}$. Сначала найдем оценку для $\frac{1}{x}$: $$\frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{6}$$ Теперь умножим на неравенство для $y$: $$10 \cdot \frac{1}{7} < \frac{y}{x} < 12 \cdot \frac{1}{6}$$ $$\frac{10}{7} < \frac{y}{x} < 2$$ $$1\frac{3}{7} < \frac{y}{x} < 2$$