Найдите углы треугольника ABC, если ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4.

229. **Ответ: $40^{\circ}, 60^{\circ}, 80^{\circ}$** Пусть одна часть составляет $x^{\circ}$. Тогда $\angle A = 2x^{\circ}$, $\angle B = 3x^{\circ}$, $\angle C = 4x^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. $$2x + 3x + 4x = 180$$ $$9x = 180$$ $$x = 20$$ $$\angle A = 2 \cdot 20 = 40^{\circ}$$ $$\angle B = 3 \cdot 20 = 60^{\circ}$$ $$\angle C = 4 \cdot 20 = 80^{\circ}$$ 230. **Доказательство:** В равностороннем треугольнике все стороны равны, следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, все его углы также равны между собой. Пусть каждый угол равен $x$. Сумма углов треугольника: $$x + x + x = 180^{\circ}$$ $$3x = 180^{\circ}$$ $$x = 60^{\circ}$$ Что и требовалось доказать. 231. а) **Доказательство:** Пусть углы при основании равнобедренного треугольника равны $\alpha$, а угол при вершине — $\beta$. Тогда $2\alpha + \beta = 180^{\circ}$, откуда $2\alpha = 180^{\circ} - \beta$. Так как $\beta > 0^{\circ}$, то $2\alpha < 180^{\circ}$, а значит $\alpha < 90^{\circ}$. Углы острые. б) **Доказательство:** Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для внешнего угла при основании это будет сумма угла при вершине ($\\beta$) и второго угла при основании ($\\alpha$). Так как $\\alpha + \\beta + \\alpha = 180^{\circ}$, а сумма смежных углов (внутреннего и внешнего) равна $180^{\circ}$, то внешний угол равен $180^{\circ} - \alpha$. Поскольку $\alpha < 90^{\circ}$, то $180^{\circ} - \alpha > 90^{\circ}$. Внешние углы тупые.