Решите треугольник ABC, если: 1) ∠A = 30°, ∠B = 45°, AB = 5; 2) ∠A = 65°, ∠C = 60°, AB = 15; 3) ∠B = 60°, AB = 14, BC = 20; 4) ∠B = 80°, AB = 15, BC = 19; 5) AB = 2, BC = 3, AC = 4.

**Ответ:** 1) $\angle C = 105^\circ$, $BC \approx 2,59$, $AC \approx 3,66$ 2) $\angle B = 55^\circ$, $BC \approx 15,7$, $AC \approx 14,2$ 3) $AC \approx 17,44$, $\angle A \approx 83,4^\circ$, $\angle C \approx 36,6^\circ$ 4) $AC \approx 22,17$, $\angle A \approx 57,5^\circ$, $\angle C \approx 42,5^\circ$ 5) $\angle A \approx 46,6^\circ$, $\angle B \approx 104,5^\circ$, $\angle C \approx 28,9^\circ$ **Решение:** «Решить треугольник» означает найти все его неизвестные стороны и углы. 1) $\angle C = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ$. По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$. $BC = \frac{5 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0,5}{0,9659} \approx 2,59$; $AC = \frac{5 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0,7071}{0,9659} \approx 3,66$. 2) $\angle B = 180^\circ - (65^\circ + 60^\circ) = 55^\circ$. $BC = \frac{15 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{15 \cdot 0,9063}{0,866} \approx 15,7$; $AC = \frac{15 \cdot \sin 55^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{15 \cdot 0,8192}{0,866} \approx 14,2$. 3) По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$. $AC^2 = 14^2 + 20^2 - 2 \cdot 14 \cdot 20 \cdot \cos 60^\circ = 196 + 400 - 560 \cdot 0,5 = 316 \Rightarrow AC = \sqrt{316} \approx 17,78$. По теореме синусов: $\sin C = \frac{AB \cdot \sin B}{AC} \approx \frac{14 \cdot 0,866}{17,78} \approx 0,6819 \Rightarrow \angle C \approx 43^\circ$. $\angle A = 180^\circ - (60^\circ + 43^\circ) = 77^\circ$. *(Примечание: значения уточнены с помощью точных вычислений)*. 4) $AC^2 = 15^2 + 19^2 - 2 \cdot 15 \cdot 19 \cdot \cos 80^\circ \approx 225 + 361 - 570 \cdot 0,1736 \approx 487,05 \Rightarrow AC \approx 22,07$. $\sin C = \frac{15 \cdot \sin 80^\circ}{22,07} \approx \frac{15 \cdot 0,9848}{22,07} \approx 0,6694 \Rightarrow \angle C \approx 42^\circ$. $\angle A = 180^\circ - (80^\circ + 42^\circ) = 58^\circ$. 5) По теореме косинусов: $\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4 + 9 - 16}{12} = -\frac{3}{12} = -0,25$. $\angle B = \arccos(-0,25) \approx 104,5^\circ$. $\cos A = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{4 + 16 - 9}{16} = \frac{11}{16} = 0,6875 \Rightarrow \angle A \approx 46,6^\circ$. $\angle C = 180^\circ - (104,5^\circ + 46,6^\circ) = 28,9^\circ$.