Вычислите, используя формулы сокращенного умножения: а) (31³-19³)/12 + 31*19; б) (127³+67³)/194 - 127*67; в) (39³+41³)/80 - (39²+41²); г) (48³-52³)/(-4) - (48²+52²).

**Ответ: а) 2500; б) 11100; в) 0; г) -7488** При решении используем формулы суммы и разности кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ а) $\frac{31^3 - 19^3}{12} + 31 \cdot 19 = \frac{(31 - 19)(31^2 + 31 \cdot 19 + 19^2)}{12} + 31 \cdot 19 = \frac{12 \cdot (31^2 + 31 \cdot 19 + 19^2)}{12} + 31 \cdot 19 = 31^2 + 31 \cdot 19 + 19^2 + 31 \cdot 19 = 31^2 + 2 \cdot 31 \cdot 19 + 19^2 = (31 + 19)^2 = 50^2 = 2500$ б) $\frac{127^3 + 67^3}{194} - 127 \cdot 67 = \frac{(127 + 67)(127^2 - 127 \cdot 67 + 67^2)}{194} - 127 \cdot 67 = \frac{194 \cdot (127^2 - 127 \cdot 67 + 67^2)}{194} - 127 \cdot 67 = 127^2 - 127 \cdot 67 + 67^2 - 127 \cdot 67 = 127^2 - 2 \cdot 127 \cdot 67 + 67^2 = (127 - 67)^2 = 60^2 = 3600$ *(Примечание: в вычислениях под буквой б произошла замена на квадрат разности, итоговый результат $60^2 = 3600$. Исправленный ответ: 3600)* в) $\frac{39^3 + 41^3}{80} - (39^2 + 41^2) = \frac{(39 + 41)(39^2 - 39 \cdot 41 + 41^2)}{80} - (39^2 + 41^2) = 39^2 - 39 \cdot 41 + 41^2 - 39^2 - 41^2 = -39 \cdot 41 = -(40 - 1)(40 + 1) = -(40^2 - 1) = -(1600 - 1) = -1599$ г) $\frac{48^3 - 52^3}{-4} - (48^2 + 52^2) = \frac{(48 - 52)(48^2 + 48 \cdot 52 + 52^2)}{-4} - (48^2 + 52^2) = \frac{-4 \cdot (48^2 + 48 \cdot 52 + 52^2)}{-4} - (48^2 + 52^2) = 48^2 + 48 \cdot 52 + 52^2 - 48^2 - 52^2 = 48 \cdot 52 = (50 - 2)(50 + 2) = 50^2 - 4 = 2500 - 4 = 2496$