Из точки B к плоскости β проведены две равные наклонные, угол между которыми прямой. Угол между проекциями данных наклонных на плоскость β равен 120°. Найдите косинус угла между данными наклонными и плоскостью β.

**Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$** Пусть $B$ — точка вне плоскости $\beta$, $H$ — её проекция на плоскость $\beta$. Проведены наклонные $BA$ и $BC$. По условию $BA = BC = a$. 1. Так как наклонные равны, то равны и их проекции: $HA = HC = p$. Из прямоугольных треугольников $\triangle BHA$ и $\triangle BHC$ выразим проекцию через наклонную и косинус угла $\varphi$ между наклонной и плоскостью: $$p = a \cdot \cos \varphi$$ 2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $\angle ABC = 90^\circ$ (прямой по условию), значит: $$AC^2 = BA^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$ 3. Рассмотрим треугольник $AHC$ в плоскости $\beta$. Угол между проекциями $\angle AHC = 120^\circ$. По теореме косинусов для $AC$: $$AC^2 = HA^2 + HC^2 - 2 \cdot HA \cdot HC \cdot \cos 120^\circ$$ $$2a^2 = p^2 + p^2 - 2 \cdot p^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$ $$2a^2 = 2p^2 + p^2$$ $$2a^2 = 3p^2$$ 4. Подставим $p = a \cos \varphi$ в полученное уравнение: $$2a^2 = 3(a \cos \varphi)^2$$ $$2a^2 = 3a^2 \cos^2 \varphi$$ $$\cos^2 \varphi = \frac{2}{3}$$ $$\cos \varphi = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$