Из точки, лежащей вне данной плоскости, проведены к ней две наклонные, длины проекций которых равны 9 см и 5 см. Найти длины наклонных, если разность их длин равна 2 см.

Question

Вопрос:

Из точки, лежащей вне данной плоскости, проведены к ней две наклонные, длины проекций которых равны 9 см и 5 см. Найти длины наклонных, если разность их длин равна 2 см.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 15 см и 13 см.** Пусть $h$ — перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, $l_1$ и $l_2$ — длины наклонных, а $d_1 = 9$ см и $d_2 = 5$ см — их проекции соответственно. Согласно теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников: 1) $h^2 = l_1^2 - d_1^2 = l_1^2 - 9^2 = l_1^2 - 81$ 2) $h^2 = l_2^2 - d_2^2 = l_2^2 - 5^2 = l_2^2 - 25$ Так как перпендикуляр один и тот же, приравниваем выражения: $$l_1^2 - 81 = l_2^2 - 25$$ $$l_1^2 - l_2^2 = 81 - 25$$ $$l_1^2 - l_2^2 = 56$$ По условию разность длин наклонных равна 2 см. Заметим, что большая наклонная соответствует большей проекции, значит $l_1 - l_2 = 2$. Используем формулу разности квадратов: $$(l_1 - l_2)(l_1 + l_2) = 56$$ $$2 \cdot (l_1 + l_2) = 56$$ $$l_1 + l_2 = 28$$ Теперь решим систему уравнений: $$\begin{cases} l_1 + l_2 = 28 \\ l_1 - l_2 = 2 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$2l_1 = 30 \Rightarrow l_1 = 15$$ Найдем вторую наклонную: $$l_2 = 15 - 2 = 13$$

Ответ ассистента

Другие решения