№1 Катеты прямоугольного д-ка равны 24см и 7см. Найдите гипотенузу данного д.

№1 **Ответ: 25 см** По теореме Пифагора: $c = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ (см). №2 **Ответ: 8 см и 46 см** 1. Пусть вторая сторона — $x$. По теореме Пифагора: $x = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ (см). 2. Периметр: $P = 2 \cdot (15 + 8) = 2 \cdot 23 = 46$ (см). №3 **Ответ: 12 дм** По теореме Пифагора: $a = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ (дм). №4 **Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{4}$** Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ $\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ (для острого угла). №5 **Ответ: $\cos A = \frac{20}{29}$, $\text{tg } B = \frac{20}{21}$, $\sin B = \frac{20}{29}$** 1. Гипотенуза $AB = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29$. 2. $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$. 3. $\text{tg } B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}$. 4. $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$. №6 **Ответ: $2\sqrt{3}$ см** Высота равностороннего треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ (см). №7 **Ответ: 144 см²** 1. По теореме Пифагора найдем проекцию боковой стороны на большее основание: $x = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$ (см). 2. Большее основание $a = 7 + 2 \cdot 5 = 17$ (см). 3. Площадь $S = \frac{7 + 17}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144$ (см²). №8 **Ответ: а) 10; $10\sqrt{2}$ б) $5\sqrt{3}$; $10\sqrt{3}$ в) 9; $6\sqrt{3}$** Используем формулы: второй катет $a = \frac{b}{\text{tg } B}$, гипотенуза $c = \frac{b}{\sin B}$. а) $a = \frac{10}{\text{tg } 45^{\circ}} = 10$; $c = \frac{10}{\sin 45^{\circ}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2}$. б) $a = \frac{15}{\text{tg } 60^{\circ}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}$; $c = \frac{15}{\sin 60^{\circ}} = \frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$. в) $a = \frac{3\sqrt{3}}{\text{tg } 30^{\circ}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 9$; $c = \frac{3\sqrt{3}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{3}$.