### Вариант 1
**1. Ответ: $\angle 1 = 45^\circ$, $\angle 2 = 135^\circ$**
При параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$ углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются внешними односторонними. Их сумма равна $180^\circ$.
Пусть $\angle 1 = x$, тогда $\angle 2 = 3x$.
$$x + 3x = 180$$
$$4x = 180$$
$$x = 45$$
$\angle 1 = 45^\circ$, $\angle 2 = 45^\circ \cdot 3 = 135^\circ$.
**2. Ответ: $\angle 3 = 109^\circ$, $\angle 4 = 109^\circ$, $\angle 5 = 71^\circ$**
1) Так как $\angle 1 + \angle 2 = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$ и это внутренние односторонние углы при прямых $a, b$ и секущей $c$, то $a \parallel b$.
2) Так как $a \parallel b$, то $\angle 3$ и $\angle 5$ — внутренние односторонние при секущей $d$, значит $\angle 3 + \angle 5 = 180^\circ$.
Пусть $\angle 5 = x$, тогда $\angle 3 = x + 38^\circ$.
$$x + x + 38 = 180$$
$$2x = 142$$
$$x = 71$$
$\angle 5 = 71^\circ$, $\angle 3 = 71^\circ + 38^\circ = 109^\circ$.
3) $\angle 4$ и $\angle 3$ — накрест лежащие при $a \parallel b$, значит $\angle 4 = \angle 3 = 109^\circ$.
**3. Доказательство:**
1) Рассмотрим $\triangle AOC$ и $\triangle DOB$. По условию $AO = OB$.
2) $\angle AOC = \angle DOB$ как вертикальные.
3) Так как $AC \parallel DB$, то $\angle OAC = \angle OBD$ как накрест лежащие при секущей $AB$.
4) Следовательно, $\triangle AOC = \triangle DOB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
### Вариант 2
**1. Ответ: $\angle 1 = 70^\circ$, $\angle 2 = 110^\circ$**
$\angle 1$ и $\angle 2$ — внешние односторонние при $a \parallel b$, их сумма $180^\circ$.
Пусть $\angle 2 = x$, тогда $\angle 1 = x - 40^\circ$.
$$x + x - 40 = 180$$
$$2x = 220$$
$$x = 110$$
$\angle 2 = 110^\circ$, $\angle 1 = 110^\circ - 40^\circ = 70^\circ$.
**2. Ответ: $\angle 3 = 111^\circ$, $\angle 4 = 69^\circ$, $\angle 5 = 69^\circ$**
1) $\angle 1 + \angle 2 = 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ$ (внутренние односторонние), значит $a \parallel b$.
2) При $a \parallel b$ углы $\angle 3$ и $\angle 4$ — смежные (судя по рисунку, они образуют развернутый угол с секущей), либо односторонние. По рисунку $\angle 3$ и $\angle 4$ — внутренние односторонние, $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$.
Пусть $\angle 3 = x$, тогда $\angle 4 = x - 42^\circ$.
$$x + x - 42 = 180$$
$$2x = 222$$
$$x = 111$$
$\angle 3 = 111^\circ$, $\angle 4 = 111^\circ - 42^\circ = 69^\circ$.
3) $\angle 5$ и $\angle 4$ — накрест лежащие при $a \parallel b$, значит $\angle 5 = \angle 4 = 69^\circ$.
**3. Доказательство:**
1) Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Сторона $AC$ — общая.
2) По условию $BC = AD$.
3) Так как $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы $\angle BCA = \angle DAC$.
4) Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
