В равностороннем треугольнике ABC точка M – пересечение медиан. Докажите, что треугольник AMC – равнобедренный. Найдите высоту треугольника AMC, проведенную к стороне AC, если MC=14.

**Ответ: высота равна 7** **Доказательство:** 1. В равностороннем треугольнике $\triangle ABC$ медианы являются также биссектрисами и высотами. Обозначим их длины как $h$. 2. Точка $M$ — точка пересечения медиан (центроид). По свойству медиан, точка $M$ делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. 3. Так как все медианы в равностороннем треугольнике равны, то отрезки от вершин до точки пересечения также равны: $AM = BM = CM$. 4. В треугольнике $\triangle AMC$ стороны $AM$ и $MC$ равны, следовательно, он является равнобедренным по определению. **Решение:** 1. Пусть медиана, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$, — это $BH$. Точка $M$ лежит на $BH$, и так как $BH \perp AC$, то отрезок $MH$ является высотой треугольника $\triangle AMC$, проведенной к стороне $AC$. 2. По свойству медиан: $$MC = \frac{2}{3} h, \quad MH = \frac{1}{3} h$$ 3. Из этого следует, что высота $MH$ в два раза меньше отрезка $MC$: $$MH = \frac{1}{2} MC$$ 4. Вычисляем значение: $$MH = \frac{14}{2} = 7$$