Question

В треугольник PTM вписана окружность. Точка касания А окружности со стороной TM делит ее на отрезки TA = 4 и AM = 7, сторона PT равна 14. Найдите длину стороны PM.

Accepted Answer

Ответ: 17

Решение задачи опирается на свойство касательных к окружности, проведённых из одной точки: отрезки таких касательных равны.

1. Пусть точки касания окружности со сторонами треугольника будут:
   - $A$ на стороне $TM$;
   - $B$ на стороне $PT$;
   - $C$ на стороне $PM$.

2. Согласно свойству касательных:
   - $TB = TA = 4$ (отрезки из вершины $T$);
   - $MC = AM = 7$ (отрезки из вершины $M$);
   - $PB = PC$ (отрезки из вершины $P$).

3. Найдём длину отрезка $PB$ из стороны $PT$:
   $$PT = TB + PB$$
   $$14 = 4 + PB$$
   $$PB = 14 - 4 = 10$$

4. Так как $PC = PB$, то $PC = 10$.

5. Теперь найдём длину стороны $PM$:
   $$PM = PC + MC$$
   $$PM = 10 + 7 = 17$$

В треугольник PTM вписана окружность. Точка касания А окружности со стороной TM делит ее на отрезки TA = 4 и AM = 7, сторона PT равна 14. Найдите длину стороны PM.

Ответ ассистента

Другие решения