Прямая AB параллельна основанию MP равнобедренного треугольника MPK и пересекает его боковые стороны в точках A и B. Найдите неизвестные углы треугольника ABK, если ∠K = 72°, ∠M = 54°.

**Ответ: $\angle A = 54^{\circ}$, $\angle B = 54^{\circ}$.** **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $MKP$. По условию он равнобедренный. Так как $\angle M = 54^{\circ}$ является углом при основании, то и второй угол при основании $\angle P = \angle M = 54^{\circ}$. 2. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle K = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 54^{\circ}) = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$ (что совпадает с условием). 3. Так как прямая $AB \parallel MP$, то углы при основании малого треугольника $ABK$ будут равны соответствующим углам большого треугольника $MKP$ (как соответственные углы при параллельных прямых и секущих $MK$ и $PK$): - $\angle KAB = \angle M = 54^{\circ}$; - $\angle KBA = \angle P = 54^{\circ}$. **5*. Доказательство:** 1. Пусть $\angle ACB = \alpha$. Так как $CB$ — биссектриса $\angle ACD$, то $\angle BCD = \angle ACB = \alpha$. 2. По условию $\triangle BCD$ — равнобедренный с основанием $BC$, значит, углы при основании равны: $\angle CBD = \angle BCD = \alpha$. 3. Мы получили, что накрест лежащие углы $\angle ACB$ и $\angle CBD$ при прямых $AC$ и $BD$ и секущей $CB$ равны (оба равны $\alpha$). 4. По признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $AC \parallel BD$. Что и требовалось доказать.