В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M, N, K и P являются серединами рёбер A1B1, A1D1, AD и AB соответственно. Найди площадь четырёхугольника MNKP, если площадь четырёхугольника BB1D1D равна 52.

**Ответ: 26** Решение: 1. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда площадь сечения $BB_1D_1D$, которое является прямоугольником со сторонами $a$ (высота куба) и $a\sqrt{2}$ (диагональ основания), вычисляется по формуле: $$S_{BB_1D_1D} = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2} = 52$$ 2. Рассмотрим четырёхугольник $MNKP$. Его вершины — середины рёбер: - $M$ и $N$ — середины $A_1B_1$ и $A_1D_1$. Отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $A_1B_1D_1$, значит $MN = \frac{1}{2} B_1D_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. - $P$ и $K$ — середины $AB$ и $AD$. Аналогично, $PK = \frac{1}{2} BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. - Отрезки $MP$ и $NK$ соединяют середины параллельных вертикальных рёбер, значит $MP = NK = a$ (они параллельны боковым рёбрам куба). 3. Четырёхугольник $MNKP$ является прямоугольником (так как $MP$ перпендикулярен плоскости основания, а значит и прямой $PK$). Его площадь: $$S_{MNKP} = MN \cdot MP = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$$ 4. Заметим, что эта площадь ровно в 2 раза меньше площади $BB_1D_1D$: $$S_{MNKP} = \frac{52}{2} = 26$$