**Ответы к заданиям:**
В задачах используется свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы.
1. $\triangle DRT$ — прямоугольный. Катет $DR = 8$ лежит против угла $\angle T = 30^{\circ}$.
$$DT = 2 \cdot DR = 2 \cdot 8 = 16$$
2. $\triangle SQF$ — прямоугольный. Катет $SF$ лежит против $\angle Q = 30^{\circ}$, гипотенуза $QF = 18$.
$$SF = QF : 2 = 18 : 2 = 9$$
3. $\triangle PCH$ — прямоугольный. $\angle P = 60^{\circ} \Rightarrow \angle H = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Катет $PC$ лежит против $\angle H = 30^{\circ}$, гипотенуза $PH$ — неизвестна.
$$PH = 2 \cdot PC = 2 \cdot 14,6 = 29,2$$
4. $\triangle ATR$ — прямоугольный. $\angle A = 60^{\circ} \Rightarrow \angle T = 30^{\circ}$. Катет $AR$ лежит против $\angle T = 30^{\circ}$.
$$AR = AT : 2 = 23 : 2 = 11,5$$
5. $\triangle OTY$ равнобедренный ($OT=OY$), $OH$ — высота, медиана и биссектриса. В $\triangle OHY$ (прямоугольном) $\angle HOY = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. Катет $HY$ лежит против $30^{\circ}$.
$$OH = OY \cdot \cos(30^{\circ}) \text{ или через } \triangle OHY: \angle Y = 60^{\circ}, \text{ тогда } HY = 3,5. \text{ По т. Пифагора: } OH = \sqrt{7^2 - 3,5^2} = \sqrt{49 - 12,25} = \sqrt{36,75} = 3,5\sqrt{3}$$
*(Примечание: если в 7 классе не проходили корни, ответ оставляем в виде выражения)*.
6. $\triangle EBV$ равнобедренный, $BE=BV$. $\angle EBV = 120^{\circ}$. Высота $BD$ делит его на два прямоугольных треугольника с углами $60^{\circ}$ и $30^{\circ}$ (при вершине $B$). В $\triangle EBD$: $\angle EBD = 60^{\circ} \Rightarrow \angle E = 30^{\circ}$.
$$BE = 2 \cdot BD = 2 \cdot 3 = 6$$
7. $\triangle OCM$: $\angle COF = 120^{\circ}$ (внешний) $\Rightarrow \angle COM = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Так как $CO=FM$ (по чертежу неясно, допустим $OC=CM$), если $\triangle OCM$ равнобедренный с углом $60^{\circ}$, то он равносторонний.
**Допущение:** $CF$ — высота и медиана в равнобедренном $\triangle OCM$. Тогда $\angle OCF = 30^{\circ}$.
$$\angle COF = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$
$$CM = OM = 2 \cdot 5 = 10$$
8. В прямоугольном $\triangle KOP$: катет $OP = 9,5$, гипотенуза $KP = 19$. Так как $9,5 = 19 : 2$, то катет вдвое меньше гипотенузы.
$$\angle K = 30^{\circ}, \angle P = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$
9. В прямоугольном $\triangle TGL$: катет $TG = 7$, гипотенуза $TL = 14$ (не подписано, но $TG$ меньше $TL$). Если $TL=14$, то $\angle L = 30^{\circ}$.
$$\angle TLG = 30^{\circ}$$
$$TL = 14 \text{ (дано)}$$
10. $ABCD$ — прямоугольник. $\triangle ACD$ прямоугольный, $\angle CAD = 60^{\circ} \Rightarrow \angle ACD = 30^{\circ}$. Катет $AD$ против $30^{\circ}$.
$$AD = AC : 2 = 12 : 2 = 6$$
По условию $CD = 0,5 BC$, а $BC=AD=6 \Rightarrow CD = 3$.
$$P_{ABCD} = 2 \cdot (AD + CD) = 2 \cdot (6 + 3) = 18$$
