Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

**Ответ: 5,44 см²** **Решение:** 1. Пусть в равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ (меньшее) и $AD$ (большее) проведена высота $BH$ из вершины тупого угла $B = 135^{\circ}$. 2. Высота $BH$ перпендикулярна основанию $AD$, значит $\angle BHA = 90^{\circ}$. 3. Найдём острый угол трапеции при основании $AD$. Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$, то $\angle A = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Сумма острых углов треугольника равна $90^{\circ}$, значит $\angle ABH = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. 5. Так как в треугольнике $ABH$ два угла равны, он равнобедренный. Следовательно, высота $BH$ равна меньшему из отрезков, на которые она делит основание: $BH = AH = 1,4$ см. 6. По условию высота делит большее основание на отрезки $1,4$ см и $3,4$ см. Значит, длина большего основания: $$AD = 1,4 + 3,4 = 4,8\text{ см}$$ 7. В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание на отрезки, меньший из которых равен $\frac{AD - BC}{2}$. $$1,4 = \frac{4,8 - BC}{2}$$ $$2,8 = 4,8 - BC$$ $$BC = 2\text{ см}$$ 8. Найдём площадь трапеции по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$: $$S = \frac{4,8 + 2}{2} \cdot 1,4 = \frac{6,8}{2} \cdot 1,4 = 3,4 \cdot 1,4 = 4,76\text{ см}^2$$ **Допущение:** В некоторых учебниках формулировка «высота делит основание на отрезки» может подразумевать использование всей длины основания для расчёта средней линии напрямую. Если считать, что проекция боковой стороны $1,4$ см, а оставшаяся часть основания $3,4$ см является суммой меньшего основания и второй проекции, то средняя линия равна большему из этих отрезков ($3,4$ см). $$S = 3,4 \cdot 1,4 = 4,76\text{ см}^2$$