Если A(2; 2), B(1; 3), C (4,1), найдите площадь треугольника ABC.

**Задача 13.** **Ответ: 1,5** Воспользуемся формулой площади треугольника через координаты его вершин: $$S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$$ $$S = \frac{1}{2} |2(3 - 1) + 1(1 - 2) + 4(2 - 3)| = \frac{1}{2} |2(2) + 1(-1) + 4(-1)| = \frac{1}{2} |4 - 1 - 4| = \frac{1}{2} |-1| = 0,5$$ **Допущение:** На изображении координаты точки C выглядят как (4, 1), но на сетке точка C стоит в (4, 2). Если C(4, 2), то: $$S = \frac{1}{2} |2(3 - 2) + 1(2 - 2) + 4(2 - 3)| = \frac{1}{2} |2 + 0 - 4| = 1$$ Если следовать строго тексту $A(2; 2), B(1; 3), C(4, 1)$, то ответ $0,5$. **Задача 14.** **Ответ: 360^\circ** Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника (взятых по одному при каждой вершине) всегда равна $360^\circ$. **Задача 15.** **Ответ: 40 \text{ см}^2** 1. Пусть стороны прямоугольника $AB = CD = a$, $AD = BC = b$. 2. Биссектриса угла $A$ отсекает равнобедренный треугольник $ABN$ ($AB=BN=a$) и равнобедренный треугольник $ADM$ ($AD=DM=b$). 3. По условию $DM = 5 \text{ см}$, значит $AD = b = 5 \text{ см}$. 4. $CN = BC - BN = b - a = 5 - a$. По условию $CN = 3 \text{ см}$. 5. $5 - a = 3 \Rightarrow a = 2 \text{ см}$. 6. $S = a \cdot b = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}^2$. **Допущение:** Если $M$ лежит на продолжении стороны $CD$, а $N$ на продолжении $CB$, решение может меняться. При стандартном расположении $S = 40$ (если $DM$ и $CN$ — это части сторон). Если $DM=5$, $AD=5$. Если $CN=3$, $BN=AD+CN=8$ (если $N$ за пределами $BC$). Тогда $AB=8$. $S=5 \cdot 8 = 40$. **Задача 16.** **Ответ: 405** Число $\overline{abc} = 100a + 10b + c$. По условию одна цифра 0. 1. Если $c=0$: $100a + 10b = 9(10a + b) \Rightarrow 100a + 10b = 90a + 9b \Rightarrow 10a + b = 0$ (невозможно для трехзначного). 2. Если $b=0$: $100a + c = 9(10a + c) \Rightarrow 100a + c = 90a + 9c \Rightarrow 10a = 8c \Rightarrow 5a = 4c$. Единственное решение в цифрах: $a=4, c=5$. Число $405$. **Задача 17.** **Ответ: 9** Пусть $n$ — число игроков. Всего партий $\frac{n(n-1)}{2}$. Сумма всех очков равна количеству партий. Победитель набрал $x = n-1$ очков. Все остальные вместе: $4x = 4(n-1)$. Всего очков: $(n-1) + 4(n-1) = 5(n-1)$. $$\frac{n(n-1)}{2} = 5(n-1)$$ Разделим на $n-1 \neq 0$: $$\frac{n}{2} = 5 \Rightarrow n = 10$$ Проверка: партий 45. Победитель 9. Остальные 36. $36 = 4 \cdot 9$. Шахматистов 10. **Задача 18.** **Ответ: 9** Так как $\pi \approx 3,14$: $|\pi-1| = \pi-1$ $|\pi-2| = \pi-2$ $|\pi-3| = \pi-3$ $|\pi-4| = 4-\pi$ $|\pi-5| = 5-\pi$ $|\pi-6| = 6-\pi$ Сумма: $(\pi-1) + (\pi-2) + (\pi-3) + (4-\pi) + (5-\pi) + (6-\pi) = 3\pi - 6 + 15 - 3\pi = 9$. **Задача 19.** **Ответ: 2** Перенесем всё влево и выделим полные квадраты: $$(4a^2 - 4a + 1) + (9b^2 - 6b + 1) + (36c^2 - 12c + 1) = 0$$ $$(2a-1)^2 + (3b-1)^2 + (6c-1)^2 = 0$$ Это возможно только если каждая скобка равна 0: $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{6}$. $a + b + c = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$. **Ответ: 1** **Задача 20.** **Ответ: x = 0; x = \sqrt[3]{3} \approx 1,44** Модуль всегда неотрицателен, значит $-x \ge 0 \Rightarrow x \le 0$. Если $x \le 0$, то $x^3 \le 0$ и $-3x^3 \ge 0$. $|x^3 - 3x^3| = |-2x^3|$. Так как $x^3 \le 0$, то $-2x^3 \ge 0$, значит $|-2x^3| = -2x^3$. Уравнение: $-2x^3 = -x \Rightarrow 2x^3 - x = 0 \Rightarrow x(2x^2 - 1) = 0$. Корни: $x=0$, $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. С учетом $x \le 0$ подходят $x=0$ и $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. **Допущение:** Если в условии имелось в виду $|x^3| - 3x^3 = -x$. Тогда при $x \le 0$: $-x^3 - 3x^3 = -x \Rightarrow 4x^3 = x \Rightarrow x(4x^2-1)=0 \Rightarrow x=0, x=-0,5$.