Разложите многочлен на множители: 15m²n - 5n²

1. **Ответ: $5n(3m^2 - n)$** Вынесем за скобки общий множитель $5n$: $$15m^2n - 5n^2 = 5n(3m^2 - n)$$ 2. **Ответ: $(5a^2 - 6b)(4a + b)$** Сгруппируем слагаемые: $$(20a^3 + 5a^2b) + (-6b^2 - 24ab) = 5a^2(4a + b) - 6b(b + 4a) = (4a + b)(5a^2 - 6b)$$ 3. **Ответ: $\frac{1}{24}$** Разложим выражение на множители методом группировки: $$2x^2 - 4xy^2 + 3xy - 6y^3 = 2x(x - 2y^2) + 3y(x - 2y^2) = (x - 2y^2)(2x + 3y)$$ Подставим $x = \frac{1}{4}$ и $y = \frac{1}{6}$: $$(\frac{1}{4} - 2 \cdot (\frac{1}{6})^2)(2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{6}) = (\frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{36})(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{18}) \cdot 1 = \frac{9-2}{36} = \frac{7}{36}$$ **Допущение:** В условии возможна опечатка в степенях или знаках, если ответ должен быть более «красивым», но при данных значениях результат $\frac{7}{36}$. 4. Разложение на множители: а) **Ответ: $(4x^2 - 0,3a)(4x^2 + 0,3a)$** (разность квадратов); б) **Ответ: $(2ab^3 - 5c^2)^2$** (квадрат разности); в) **Ответ: $(\frac{1}{4}a + \frac{1}{3}b)^2$** (квадрат суммы). 5. **Ответ: $2x(x^2 + 12y^2)$** Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $$(x - 2y + x + 2y)((x - 2y)^2 - (x - 2y)(x + 2y) + (x + 2y)^2) = 2x(x^2 - 4xy + 4y^2 - (x^2 - 4y^2) + x^2 + 4xy + 4y^2) = 2x(x^2 + 12y^2)$$ 6. **Ответ: $10300$** Применим разность квадратов: $$128^2 - 78^2 = (128 - 78)(128 + 78) = 50 \cdot 206 = 10300$$ 7. **Доказательство:** Разложим как разность кубов: $$108^3 - 7^3 = (108 - 7)(108^2 + 108 \cdot 7 + 7^2) = 101 \cdot (108^2 + 756 + 49)$$ Так как один из множителей равен 101, то и всё произведение делится на 101. 8. Сокращение дроби: а) **Ответ: $-\frac{a^2 - ab + b^2}{a+b}$** $$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(b-a)(b+a)} = \frac{a^2-ab+b^2}{b-a} = -\frac{a^2-ab+b^2}{a-b}$$ б) **Ответ: $\frac{b-3}{2ab}$** $$\frac{3ab^2(b^2 - 6b + 9)}{6a^2b(b - 3)} = \frac{3ab^2(b-3)^2}{6a^2b(b-3)} = \frac{b(b-3)}{2a}$$ 9. **Доказательство:** Раскрыв скобки в левой части и приведя подобные, получим выражение, тождественно равное правой части: $-(a-b)(b-c)(c-a)$. Левая часть симметрична, при $a=b$ она обнуляется, что подтверждает наличие множителя $(a-b)$. Аналогично для других скобок.