А1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 96°. Найдите два других угла треугольника.

**А1. Ответ: 42°, 42°** **Решение:** Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как угол $96^{\circ}$ — тупой, он может быть только углом при вершине (при основании не может быть два тупых угла). 1) $180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$ (сумма углов при основании). 2) $84^{\circ} : 2 = 42^{\circ}$ (каждый угол при основании). **А2. Ответ: а) доказано; б) AD < DC** **Допущение:** В условии пункта а) опечатка, вместо треугольника BDC должен быть **треугольник BKC**, так как проведена биссектриса BK. Аналогично в пункте б) сравниваются отрезки **AK и KC**. **Решение:** 1) По сумме углов треугольника $ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 35^{\circ}) = 70^{\circ}$. 2) Так как $BK$ — биссектриса, то $\angle ABK = \angle KBC = 70^{\circ} : 2 = 35^{\circ}$. 3) В $\triangle BKC$ два угла равны ($\angle KBC = 35^{\circ}$ и $\angle C = 35^{\circ}$). Следовательно, треугольник $BKC$ — равнобедренный (с основанием $BC$), что и требовалось доказать. 4) В $\triangle ABC$: $\angle A = 75^{\circ}$, $\angle C = 35^{\circ}$. Против большего угла лежит большая сторона, значит $BC > AB$. 5) Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}$. Так как $AB < BC$, то $AK < KC$. **А3. Ответ: 18 см, 18 см, 9 см** **Решение:** Пусть боковая сторона — $a$, основание — $b$. В тупоугольном равнобедренном треугольнике основание всегда больше боковой стороны ($b > a$), иначе треугольник не существует (сумма двух боковых сторон должна быть больше основания). Значит, $b = a + 9$. Периметр: $P = 2a + b = 45$. $2a + (a + 9) = 45$ $3a = 36$ $a = 12$ см (боковые стороны). $b = 12 + 9 = 21$ см (основание). Проверка: $12+12 > 21$ (условие выполняется). Если допустить, что боковая сторона больше основания ($a = b + 9$): $2(b + 9) + b = 45$ $3b + 18 = 45$ $3b = 27$ $b = 9$ см (основание). $a = 9 + 9 = 18$ см (боковые стороны). Проверка: $18^2 + 18^2 = 324 + 324 = 648$. $9^2 = 81$. Так как $18^2 + 18^2 > 9^2$, а треугольник тупоугольный, то квадрат большей стороны должен быть больше суммы квадратов двух других. Здесь $18^2 > 18^2 + 9^2$ — невозможно. Значит, основанием является сторона 18 см, а боковыми — 18 и 9? Нет, тогда треугольник не равнобедренный. Верное распределение для тупоугольного: боковые стороны по 12, основание 21 — это остроугольный ($21^2 = 441$, $12^2+12^2=288$, $441 > 288$ — тупоугольный). Если стороны 18, 18 и 9: $18^2 = 324$, $18^2 + 9^2 = 324 + 81 = 405$. $324 < 405$ — остроугольный. Следовательно, стороны: **12 см, 12 см и 21 см**.