Сколько всего нулей, которыми оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 40?

**Ответ: 9 нулей.** Чтобы определить, на сколько нулей оканчивается произведение всех натуральных чисел от $1$ до $40$ (то есть $40!$), нужно посчитать, сколько раз в разложении этого произведения на простые множители встречается пара $2 \cdot 5$. Так как двоек в этом произведении гораздо больше, чем пятёрок, достаточно посчитать количество множителей, кратных $5$. 1. Найдём количество чисел от $1$ до $40$, которые делятся на $5$: $40 : 5 = 8$ чисел ($5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40$). 2. Среди этих чисел есть такие, которые делятся на $5^2 = 25$. Каждое такое число даёт один дополнительный ноль (так как содержит две пятёрки в разложении): $40 : 25 = 1$ число (это число $25$). 3. Складываем количество пятёрок: $$8 + 1 = 9$$