Question

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, MA : MC = MD : MB. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм или трапеция.

Accepted Answer

Ответ:

В треугольниках $MAD$ и $MCB$ $\angle AMD = \angle BMC$ (как вертикальные), $MA : MC = MD : MB$ (по условию).

Следовательно, $	riangle MAD \sim 	riangle MCB$ (по второму признаку подобия треугольников — по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), а стороны $MA$ и $MC$ являются сходственными сторонам $MD$ и $MB$.

Из подобия треугольников следует, что $\angle MAD = \angle MCB$, т. е. равны накрест лежащие углы при пересечении прямых $AD$ и $BC$ секущей $AC$, значит, $AD$ $||$ $BC$.

Из подобия треугольников следует, что $AD : BC = MA : MC$.

Если $AD : BC 
eq 1$, то $AD 
eq BC$, при этом $AD$ $||$ $BC$, значит, $ABCD$ — трапеция.

Если $AD : BC = 1$, то $AD = BC$, но $AD$ $||$ $BC$, следовательно, $ABCD$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, MA : MC = MD : MB. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм или трапеция.

Ответ ассистента

Другие решения