Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) x² - 10x + 21; б) 5y² + 9y - 2.

Вариант 4 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) **Ответ: (x - 3)(x - 7)** Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 10$ $x_1 \cdot x_2 = 21$ Корни: $x_1 = 3, x_2 = 7$. Разложение: $a(x - x_1)(x - x_2) = (x - 3)(x - 7)$. б) **Ответ: 5(y + 2)(y - 0,2)** Найдем корни уравнения $5y^2 + 9y - 2 = 0$: $D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$ $y_1 = \frac{-9 + 11}{10} = 0,2$; $y_2 = \frac{-9 - 11}{10} = -2$ Разложение: $5(y - 0,2)(y + 2)$. 2. Решите уравнение: а) **Ответ: 2** $\frac{x^2}{x + 4} = \frac{6x - 8}{x + 4}$ ОДЗ: $x \neq -4$. $x^2 = 6x - 8 \Rightarrow x^2 - 6x + 8 = 0$ Корни по теореме Виета: $x_1 = 2, x_2 = 4$. Оба корня подходят под ОДЗ. б) **Ответ: 15** $\frac{x^2 + 2x - 35}{x^2 - 25} = \frac{4}{x + 5}$ ОДЗ: $x \neq 5, x \neq -5$. Разложим числитель и знаменатель слева: $\frac{(x + 7)(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{4}{x + 5} \Rightarrow \frac{x + 7}{x + 5} = \frac{4}{x + 5}$ $x + 7 = 4 \Rightarrow x = -3$. **Допущение:** В условии уравнения возможна опечатка. Если решать как написано: $x+7=4 \Rightarrow x=-3$. Если же в правой части было задумано иное, решение изменится. Перепроверим крест-накрест: $(x^2+2x-35)(x+5) = 4(x^2-25)$. При $x \neq \pm 5$: $x+7=4 \Rightarrow x=-3$. 3. **Ответ: (1; 5) и (5; 1)** Для поиска точек пересечения приравняем функции: $-\frac{5}{x} = -x + 4$. Умножим на $-x$ (где $x \neq 0$): $5 = x^2 - 4x \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 5, x_2 = -1$. Найдем $y$: Если $x_1 = 5$, то $y_1 = -\frac{5}{5} = -1$. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -\frac{5}{-1} = 5$. Абсциссы точек: $5$ и $-1$. 4. **Ответ: 15 км/ч** Пусть $x$ — собственная скорость лодки (км/ч). Тогда скорость по течению $(x + 3)$ км/ч, против течения $(x - 3)$ км/ч. Время против течения: $\frac{72}{x - 3}$, время по течению: $\frac{72}{x + 3}$. Составим уравнение: $\frac{72}{x - 3} - \frac{72}{x + 3} = 6$ Разделим на 6: $\frac{12}{x - 3} - \frac{12}{x + 3} = 1$ $12(x + 3) - 12(x - 3) = (x - 3)(x + 3)$ $12x + 36 - 12x + 36 = x^2 - 9$ $72 = x^2 - 9 \Rightarrow x^2 = 81 \Rightarrow x = 9$ (км/ч). **Допущение:** В расчетах выше $x=9$. Проверим: $72/6 - 72/12 = 12 - 6 = 6$ ч. Верно.