Билет №1. 1. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Доказать, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1. **Параллелограмм** — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. **Свойства параллелограмма:** * Противоположные стороны равны. * Противоположные углы равны. * Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. * Диагонали точкой пересечения делятся пополам. **Доказательство:** Пусть $ABCD$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle COD$: 1. $AB = CD$ (как противоположные стороны параллелограмма). 2. $\angle BAO = \angle DCO$ (как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $AC$). 3. $\angle ABO = \angle CDO$ (как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BD$). Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что $AO = CO$ и $BO = DO$. Что и требовалось доказать. 2. **Определение:** Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. **Значения:** * $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ * $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 3. **Ответ: 30 см** **Решение:** Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда стороны равны $5x, 7x, 8x, 9x, 10x$. Составим уравнение по периметру: $5x + 7x + 8x + 9x + 10x = 117$ $39x = 117$ $x = 117 : 39 = 3$ Наибольшая сторона равна $10x = 10 \cdot 3 = 30$ см. 4. **Ответ: 8 см** **Решение:** 1. В $\triangle ACD$: $\angle ACD = 90^{\circ}$, $\angle D = 60^{\circ} \implies \angle CAD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 2. Катет $CD$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $CD = \frac{1}{2} AD$. Пусть $CD = c$, тогда $AD = 2c$. 3. По условию $\angle BAC = \angle CAD = 30^{\circ}$. Тогда $\angle BAD = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 4. Трапеция равнобедренная, так как углы при основании $AD$ равны (по $60^{\circ}$). Значит $AB = CD = c$. 5. $\angle BCA = \angle CAD = 30^{\circ}$ (накрест лежащие при $BC \parallel AD$). Значит в $\triangle ABC$ два угла равны по $30^{\circ}$, треугольник равнобедренный, $BC = AB = c$. 6. Периметр $P = AB + BC + CD + AD = c + c + c + 2c = 5c$. 7. $5c = 20 \implies c = 4$ см. 8. $AD = 2c = 2 \cdot 4 = 8$ см.