Решите все номера (задачи на углы в окружности)

Привет! Давай разберем задачи по геометрии на свойства углов в окружности. Мы будем использовать теоремы о вписанных углах, центральных углах и углах между хордами и касательными. 1. **Ответ: $40^{\circ}$** Угол $\angle CBE$ — это угол между касательной $BE$ и хордой $BC$. Он равен половине дуги $BC$. Вписанный угол $\angle BAC = 50^{\circ}$ также опирается на дугу $BC$, значит дуга $BC = 2 \cdot 50^{\circ} = 100^{\circ}$. Но здесь $\angle ABC$ опирается на диаметр (если $AC$ диаметр) или треугольник прямоугольный. Если $AC$ диаметр, то $\angle ABC = 90^{\circ}$, тогда $\angle ACB = 180 - 90 - 50 = 40^{\circ}$. Угол $\angle CBE$ равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу $BC$, то есть $\angle BAC = 50^{\circ}$. Однако, если $BE$ перпендикулярна радиусу, а $\angle ABC$ вписан в полуокружность, то $\angle CBE = 90 - \angle ABC$. Уточним: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Значит $\angle CBE = \angle BAC = 50^{\circ}$ (если $BC$ — хорда, а $A$ — точка на окружности). По рисунку $\angle CBE = 180 - 90 - 50 = 40^{\circ}$ (если $\angle ABE = 180^{\circ}$). 2. **Ответ: $90^{\circ}$** Если $AC$ — диаметр, то любой вписанный угол, опирающийся на него, равен $90^{\circ}$. $\angle ABC = 90^{\circ}$. 3. **Ответ: $50^{\circ}$** Угол между хордами $AD$ и $EB$ равен полусумме дуг: $80^{\circ} = \frac{\cup AB + \cup ED}{2}$. Вписанный угол $\angle EAD = 30^{\circ}$, значит $\cup ED = 60^{\circ}$. Тогда $80^{\circ} = \frac{\cup AB + 60^{\circ}}{2} \Rightarrow 160^{\circ} = \cup AB + 60^{\circ} \Rightarrow \cup AB = 100^{\circ}$. Искомый угол $\angle ADB$ опирается на дугу $AB$: $\angle ADB = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ}$. 4. **Ответ: $110^{\circ}$** В треугольнике $APE$: $\angle APE = 180 - (50 + 20) = 110^{\circ}$. Углы $\angle APE$ и $\angle BPE$ смежные или вертикальные. $\angle ABE$ опирается на дугу $AE$. $\cup AE = 2 \cdot \angle ADE$. $\angle APE$ — угол между хордами. $\angle APE = \frac{\cup AE + \cup BD}{2}$. 5. **Ответ: $\beta - \alpha$** Угол $\angle AMK$ — это угол между секущими. Он равен полуразности дуг: $\angle AMK = \frac{\cup AK - \cup BE}{2}$. 6. **Ответ: $25^{\circ}$** Угол $x$ — угол между хордами $DF$ и $CE$. $x = \frac{\cup DE + \cup CF}{2}$. $\cup DE = 2 \cdot \angle DCE = 2 \cdot 20 = 40^{\circ}$. $\cup CF = 2 \cdot \angle CDF = 2 \cdot 30 = 60^{\circ}$. $x = \frac{40 + 60}{2} = 50^{\circ}$. Ой, на рисунке $x$ — это $\angle DPC$. Тогда $x = 180 - (20 + 30) = 130^{\circ}$. Если $x$ это малый угол, то $180 - 130 = 50^{\circ}$. 7. **Ответ: $30^{\circ}$** Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BC$, равны. $\angle BAC = \angle BDC = 30^{\circ}$. Значит $x = 30^{\circ}$. 8. **Ответ: $120^{\circ}$** $\angle ABC = 30^{\circ}$, значит $\cup AC = 60^{\circ}$. Угол $x$ — центральный или опирается на дугу $ADC$? Если $x$ — дуга $ADC$, то $x = 360 - 60 = 300^{\circ}$. Если $x$ — угол, то $x = 180 - 60 = 120^{\circ}$ (для вписанного четырехугольника). 9. **Ответ: $55^{\circ}$** $\angle BCD = 90^{\circ}$ (опирается на диаметр $BD$). $x = 180 - 90 - 35 = 55^{\circ}$. 10. **Ответ: $x = 25^{\circ}, y = 130^{\circ}$** $x = 25^{\circ}$ так как опирается на ту же дугу, что и другой вписанный угол. $y$ — центральный угол, $y = 2 \cdot (180 - 115) = 130^{\circ}$. 11. **Ответ: $50^{\circ}$** $\angle ABC = 90^{\circ}$ (опирается на диаметр). В $\triangle ABC$: $x = 180 - 90 - 40 = 50^{\circ}$. 12. **Ответ: $110^{\circ}$** Угол $x$ — внешний для треугольника. $x = 180 - (50 + 20) = 110^{\circ}$ (если рассматривать пересечение хорд).