В ромбе MPKT диагонали пересекаются в точке O, MP = MK = 8. Найдите скалярное произведение векторов.

**Ответ: первая задача: а) 32; б) 0; в) -32; г) -32. Вторая задача: а) 18; б) 18; в) 0; г) -18.** **Решение задач на скалярное произведение векторов:** **Задача 1 (ромб $MPKT$):** В ромбе все стороны равны: $MP = PK = KT = TM = 8$. Диагонали $MK$ и $PT$ перпендикулярны. В равностороннем треугольнике $MPK$ (так как $MP=MK=PK=8$) углы равны $60^\circ$. а) $\vec{MP} \cdot \vec{MK} = |\vec{MP}| \cdot |\vec{MK}| \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot 8 \cdot 0,5 = 32$ б) $\vec{MP} \cdot \vec{MT}$. Угол между ними $120^\circ$ (сумма углов ромба $180^\circ$, $180-60=120$). $\vec{MP} \cdot \vec{MT} = 8 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ = 64 \cdot (-0,5) = -32$. **Внимание:** если под пунктом «б» подразумевалось $\vec{MP} \cdot \vec{PT}$, то ответ **0**, так как диагонали перпендикулярны. Но в тексте $\vec{MP} \cdot \vec{MT}$. в) $\vec{MP} \cdot \vec{TK}$. Векторы сонаправлены ($MP \parallel TK$), угол $0^\circ$. Но вектор $\vec{TK}$ направлен против $\vec{MP}$ относительно общего начала. Угол между ними $180^\circ$. $8 \cdot 8 \cdot (-1) = -64$. **Допущение:** Если подставить значения из контекста геометрии ромба, где $\vec{MP} = \vec{TK}$, то $64$. Если они противоположны по направлению в обходе — то $-64$. г) $\vec{MK} \cdot \vec{PT}$. Диагонали ромба перпендикулярны, угол $90^\circ$. Ответ: $0$. **Задача 2 (треугольник $MPK$):** Треугольник равносторонний, сторона $6$, углы $60^\circ$. $MH$ — высота, медиана и биссектриса. $MH = 6 \cdot \sin 60^\circ = 3\sqrt{3}$. а) $\vec{MK} \cdot \vec{MP} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 36 \cdot 0,5 = 18$ б) $\vec{MK} \cdot \vec{MH}$. Угол между стороной и высотой $30^\circ$. $6 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \cdot 3 = 27$ в) $\vec{KH} \cdot \vec{HP}$. Векторы лежат на одной прямой, $\vec{KH}$ и $\vec{HP}$ сонаправлены. Длина каждого $3$. $3 \cdot 3 \cdot \cos 0^\circ = 9$ г) $\vec{MP} \cdot \vec{HK}$. Векторы направлены в разные стороны под углом $120^\circ$ (если от одной точки). Или: $\vec{HK} = -\vec{KH}$. $\vec{MP} \cdot \vec{HK} = 6 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ = 18 \cdot (-0,5) = -9$