Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если AB = BC и ∠ABD = ∠CBD.

1. **Доказательство:** Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$: - $AB = BC$ (по условию); - $\angle ABD = \angle CBD$ (по условию); - $BD$ — общая сторона. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 2. **Ответ: боковая сторона 8 см, основание 14 см.** Пусть $x$ (см) — длина боковой стороны, тогда основание равно $x + 6$ (см). Так как треугольник равнобедренный, боковые стороны равны. Периметр: $x + x + (x + 6) = 30$ $3x + 6 = 30$ $3x = 24$ $x = 8$ (см) — боковая сторона. $8 + 6 = 14$ (см) — основание. 3. **Доказательство:** Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle CBK$: - $AB = BC$ (так как $\triangle ABC$ равнобедренный); - $\angle A = \angle C$ (углы при основании равнобедренного $\triangle ABC$); - $\angle ABM = \angle CBK$ (по условию). Следовательно, $\triangle ABM = \triangle CBK$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что $AM = CK$. 4. **Доказательство:** Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$: - $AB = AD$ (по условию); - $BC = DC$ (по условию); - $AC$ — общая сторона. Значит, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по третьему признаку (по трём сторонам). Из равенства следует, что $\angle BAC = \angle DAC$. Теперь рассмотрим $\triangle ABO$ и $\triangle ADO$: - $AB = AD$; - $AO$ — общая сторона; - $\angle BAO = \angle DAO$. Следовательно, $\triangle ABO = \triangle ADO$ по первому признаку, откуда $BO = DO$. 5. **Ответ: AC = 14 см.** Пусть $O$ — точка пересечения $BM$ и $AD$. В $\triangle ABM$ отрезок $AO$ является биссектрисой и высотой (так как $AD \perp BM$). Значит, $\triangle ABM$ — равнобедренный, и $AB = AM = 7$ см. Так как $BM$ — медиана $\triangle ABC$, то $M$ — середина $AC$. Следовательно, $AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 7 = 14$ см.