Через вершину прямого угла C равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CM, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если AC = 4 см, а CM = 2√7 см.

**Ответ: 6 см** **Решение:** 1. Пусть $CH$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на гипотенузу $AB$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC = BC = 4$ см) и прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$), то высота $CH$ также является медианой. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см}$$ $$CH = \frac{1}{2} AB = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}$$ 2. Так как $CM \perp (ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок $MH$ будет перпендикулярен прямой $AB$ ($CH \perp AB$ — проекция, $MH$ — наклонная). Значит, искомое расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ — это длина отрезка $MH$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MCH$ (где $\angle MCH = 90^\circ$, так как $CM$ перпендикулярна плоскости). По теореме Пифагора: $$MH = \sqrt{CM^2 + CH^2}$$ $$MH = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 \cdot 7 + 4 \cdot 2} = \sqrt{28 + 8} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$$