На клетчатой бумаге (рис. 219) изображены многоугольники. Найдите их площади.

**Ответ:** а) $8\text{ см}^2$ б) $15\text{ см}^2$ в) $12\text{ см}^2$ г) $9,5\text{ см}^2$ д) $12,5\text{ см}^2$ **Решение:** Для нахождения площадей многоугольников на клетчатой бумаге удобнее всего использовать метод разбиения на простые фигуры или метод достраивания до прямоугольника. Примем сторону клетки за $1\text{ см}$, тогда площадь одной клетки — $1\text{ см}^2$. а) Квадрат со стороной $a = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}$. $$S = a^2 = (\sqrt{8})^2 = 8\text{ см}^2$$ б) Параллелограмм. Проще достроить до прямоугольника $4 \times 5$ ($20\text{ см}^2$) и вычесть площади четырех прямоугольных треугольников по углам: $$S = 20 - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1\right) = 20 - 4 - 1 = 15\text{ см}^2$$ в) Трапеция. Основания: $a = 2\text{ см}$, $b = 6\text{ см}$, высота $h = 3\text{ см}$. $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{2 + 6}{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\text{ см}^2$$ г) Сложный многоугольник. Удобно использовать формулу Пика: $S = I + \frac{B}{2} - 1$, где $I$ — узлы внутри, $B$ — узлы на границе. $I = 7$, $B = 7$. $$S = 7 + \frac{7}{2} - 1 = 7 + 3,5 - 1 = 9,5\text{ см}^2$$ д) Сложный многоугольник (невыпуклый). Воспользуемся формулой Пика. $I = 10$, $B = 7$. $$S = 10 + \frac{7}{2} - 1 = 10 + 3,5 - 1 = 12,5\text{ см}^2$$