Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол α. Ответ дайте в градусах.

**Ответ: 30** Решение: 1. На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в одной точке. Углы, отмеченные одной дугой, равны по условию. Обозначим их как $\alpha$, $1$ и угол между углом $60^\circ$ и углом $1$. Заметим, что угол $\alpha$ и угол $1$ являются вертикальными, поэтому они равны. 2. Углы $\alpha$, $2$ и $60^\circ$ вместе образуют развёрнутый угол, так как они лежат на одной прямой. Значит: $$\alpha + \angle 2 + 60^\circ = 180^\circ$$ 3. Углы, отмеченные одной дугой (их три), равны между собой. Из рисунка видно, что угол $\alpha$ равен углу $2$ (они вертикальны соответствующим равным углам напротив). Следовательно, все углы с дугой равны $\alpha$. 4. Угол $60^\circ$ состоит из двух равных углов, отмеченных двойной дугой (если присмотреться к рисунку). Однако, проще заметить, что сумма всех углов вокруг точки равна $360^\circ$. 5. Рассмотрим развёрнутый угол (горизонтальная прямая). Сверху мы видим три угла. По условию углы с одной дугой равны. На рисунке три таких угла: $\alpha$, $1$ и еще один. Но по чертежу видно, что $\alpha$ и угол под ним (вертикальный) равны. 6. Посмотрим на нижнюю часть прямой: угол $2 + 60^\circ + \text{угол с дугой} = 180^\circ$. Так как угол $2 = \alpha$, получаем: $$\alpha + 60^\circ + \alpha = 180^\circ$$ $$2\alpha + 60^\circ = 180^\circ$$ $$2\alpha = 120^\circ$$ $$\alpha = 60^\circ$$ **Допущение:** Если под одной дугой подразумеваются все три верхних угла, то $\alpha = 180 / 3 = 60$. Однако, если смотреть на стандартные задачи такого типа, где вертикальные углы равны, и $\alpha$ — это один из шести углов: Из рисунка видно, что развернутый угол состоит из $\alpha$, угла $60^\circ$ и еще одного угла, равного $\alpha$ (так как они отмечены одинаково). $$\alpha + 60^\circ + \alpha = 180^\circ$$ $$2\alpha = 120^\circ$$ $$\alpha = 60^\circ$$ *Перепроверка:* Если $60^\circ$ — это сумма двух маленьких углов с двумя дугами, и каждый из них по $30^\circ$, тогда $\alpha + 30^\circ + 30^\circ + \alpha = 180^\circ$ не подходит. Если на рисунке 4 равных угла по $\alpha$ и центральный $60^\circ$: Сумма углов с одной стороны прямой: $\alpha + 60^\circ + \dots$ Вернемся к самому простому прочтению: три прямые образуют 6 углов. Вертикальные углы равны. Углы с одной дугой (их 4 штуки на чертеже) равны $\alpha$. Два оставшихся вертикальных угла равны по $60^\circ$. Сумма углов на одной прямой: $$\alpha + 60^\circ + \alpha = 180^\circ$$ $$2\alpha = 120^\circ$$ $$\alpha = 60$$