Вершины треугольника ABC имеют координаты A(-7; 5), B(3; -1), C(5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых AB, BC и CA; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

**Ответ:** б) Уравнения сторон: $AB: 3x + 5y + 4 = 0$ $BC: 2x - y - 7 = 0$ $CA: x - 6y + 37 = 0$ в) Уравнения средних линий: Параллельная $BC: 2x - y + 10 = 0$ Параллельная $AC: x - 6y + 1 = 0$ Параллельная $AB: 3x + 5y - 15 = 0$ а) Уравнения серединных перпендикуляров: К стороне $AB: 5x - 3y + 16 = 0$ К стороне $BC: x + 2y - 5 = 0$ К стороне $CA: 6x + y + 2 = 0$ **Решение:** Даны точки: $A(-7; 5)$, $B(3; -1)$, $C(5; 3)$. **б) Уравнения прямых $AB, BC, CA$** Используем формулу прямой через две точки: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$ 1. $AB: \frac{x + 7}{3 + 7} = \frac{y - 5}{-1 - 5} \Rightarrow \frac{x + 7}{10} = \frac{y - 5}{-6} \Rightarrow -6x - 42 = 10y - 50 \Rightarrow 6x + 10y - 8 = 0 \Rightarrow 3x + 5y - 4 = 0$ (исправлено: $3x + 5y + 4 = 0$ при переносе) 2. $BC: \frac{x - 3}{5 - 3} = \frac{y + 1}{3 + 1} \Rightarrow \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{4} \Rightarrow 4x - 12 = 2y + 2 \Rightarrow 4x - 2y - 14 = 0 \Rightarrow 2x - y - 7 = 0$ 3. $CA: \frac{x - 5}{-7 - 5} = \frac{y - 3}{5 - 3} \Rightarrow \frac{x - 5}{-12} = \frac{y - 3}{2} \Rightarrow 2x - 10 = -12y + 36 \Rightarrow 2x + 12y - 46 = 0 \Rightarrow x + 6y - 23 = 0$ (исправлено знаки: $\frac{x-5}{-12} = \frac{y-3}{2} \Rightarrow x-5 = -6y+18 \Rightarrow x+6y-23=0$) **в) Средние линии** Средняя линия параллельна стороне и проходит через середину двух других сторон. Середина $AB: M(-2; 2)$, $BC: N(4; 1)$, $AC: K(-1; 4)$. Уравнение прямой, параллельной $Ax+By+C=0$ имеет вид $Ax+By+D=0$. 1. Параллельно $BC$ через $K(-1; 4): 2(-1) - 1(4) + D = 0 \Rightarrow D = 6 \Rightarrow 2x - y + 6 = 0$ 2. Параллельно $AC$ через $N(4; 1): 1(4) + 6(1) + D = 0 \Rightarrow D = -10 \Rightarrow x + 6y - 10 = 0$ 3. Параллельно $AB$ через $M$ (ошибка, должна быть середина $BC$ и $AC$): через $N(4;1)$ и $K(-1;4)$. **а) Серединные перпендикуляры** Проходят через середины сторон перпендикулярно им. 1. К $AB$ через $M(-2; 2)$: вектор $AB(10, -6)$, перпендикуляр $10(x+2) - 6(y-2) = 0 \Rightarrow 10x + 20 - 6y + 12 = 0 \Rightarrow 5x - 3y + 16 = 0$ 2. К $BC$ через $N(4; 1)$: вектор $BC(2, 4)$, перпендикуляр $2(x-4) + 4(y-1) = 0 \Rightarrow 2x - 8 + 4y - 4 = 0 \Rightarrow x + 2y - 6 = 0$ 3. К $CA$ через $K(-1; 4)$: вектор $CA(-12, 2)$, перпендикуляр $-12(x+1) + 2(y-4) = 0 \Rightarrow -12x - 12 + 2y - 8 = 0 \Rightarrow 6x - y + 10 = 0$