В окружности с центром O проведена хорда AB. Отрезок OC - радиус окружности, перпендикулярный к AB. Докажите, что луч CO - биссектриса угла ACB.

Question

Вопрос:

В окружности с центром O проведена хорда AB. Отрезок OC - радиус окружности, перпендикулярный к AB. Докажите, что луч CO - биссектриса угла ACB.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle OAB$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, следовательно, $OA = OB$. Значит, $\triangle OAB$ — равнобедренный с основанием $AB$. 2. По условию радиус $OC \perp AB$. Пусть $M$ — точка пересечения $OC$ и $AB$. В равнобедренном $\triangle OAB$ отрезок $OM$ является высотой, проведённой к основанию. По свойству равнобедренного треугольника, высота также является медианой, поэтому $AM = MB$. 3. Рассмотрим $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$: - $AM = MB$ (доказано выше); - $\angle AMC = \angle BMC = 90^\circ$ (так как $OC \perp AB$); - $CM$ — общая сторона. Следовательно, $\triangle ACM = \triangle BCM$ по двум катетам. 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle ACM = \angle BCM$. 5. Так как $\angle ACM = \angle BCM$, луч $CO$ делит угол $ACB$ пополам, а значит, является его биссектрисой. Что и требовалось доказать.

В окружности с центром O проведена хорда AB. Отрезок OC - радиус окружности, перпендикулярный к AB. Докажите, что луч CO - биссектриса угла ACB.

Ответ ассистента

Другие решения