III вариант 1. (sin2B - 2sinB) / (cosB - 1) 2. а) f(x) = (3x-2)/(5x+8) б) y = x + 2cosx 3. 2cosx + sqrt(3) = 0 4. cosx >= sqrt(3)/2 5. f(x) = (3 - 5x)^5

**Ответ: -2\sin\beta** **Решение:** Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2\beta = 2\sin\beta\cos\beta$. $$\frac{2\sin\beta\cos\beta - 2\sin\beta}{\cos\beta - 1}$$ Вынесем $2\sin\beta$ за скобки в числителе: $$\frac{2\sin\beta(\cos\beta - 1)}{\cos\beta - 1}$$ Сократим дробь на $(\cos\beta - 1)$ при условии, что $\cos\beta \neq 1$: $$2\sin\beta$$ **2. Найдите производную функции:** а) $f(x) = \frac{3x-2}{5x+8}$ Используем формулу производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $f'(x) = \frac{(3x-2)'(5x+8) - (3x-2)(5x+8)'}{(5x+8)^2} = \frac{3(5x+8) - 5(3x-2)}{(5x+8)^2} = \frac{15x + 24 - 15x + 10}{(5x+8)^2} = \frac{34}{(5x+8)^2}$ **Ответ: $f'(x) = \frac{34}{(5x+8)^2}$** б) $y = x + 2\cos x$ $y' = (x)' + (2\cos x)' = 1 - 2\sin x$ **Ответ: $y' = 1 - 2\sin x$** **3. Решите уравнение:** $2\cos x + \sqrt{3} = 0$ $2\cos x = -\sqrt{3}$ $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \pm (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi n$ $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ **Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$** **4. Решите неравенство:** $\cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ На тригонометрическом круге значения косинуса больше или равны $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют дуге от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$. $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$** **5. Найдите производную функции:** $f(x) = (3 - 5x)^5$ Используем формулу производной сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$: $f'(x) = 5(3 - 5x)^4 \cdot (3 - 5x)' = 5(3 - 5x)^4 \cdot (-5) = -25(3 - 5x)^4$ **Ответ: $f'(x) = -25(3 - 5x)^4$**