Решите систему уравнений: 2x^2 - y^2 = 34, xy = 20

**Ответ: $(5, 4), (-5, -4), (4\sqrt{2}, 2.5\sqrt{2}), (-4\sqrt{2}, -2.5\sqrt{2})$** Решим систему уравнений методом подстановки: $$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34 \\ xy = 20 \end{cases}$$ 1. Выразим $y$ из второго уравнения: $$y = \frac{20}{x}$$ 2. Подставим это выражение в первое уравнение: $$2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34$$ $$2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34$$ 3. Умножим всё уравнение на $x^2$ (при условии $x \neq 0$): $$2x^4 - 400 = 34x^2$$ $$2x^4 - 34x^2 - 400 = 0$$ $$x^4 - 17x^2 - 200 = 0$$ 4. Пусть $x^2 = t$, где $t > 0$: $$t^2 - 17t - 200 = 0$$ По теореме Виета: $$t_1 = 25$$ $$t_2 = -8$$ (не подходит, так как $t > 0$) 5. Вернемся к замене: $$x^2 = 25 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5$$ 6. Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_1 = 5$, то $y_1 = \frac{20}{5} = 4$. Если $x_2 = -5$, то $y_2 = \frac{20}{-5} = -4$. 7. Проверим наличие иррациональных корней (если рассматривать уравнение относительно $x^2$ более детально): Уравнение $x^4 - 17x^2 - 200 = 0$ имеет только один положительный корень для $x^2$, следовательно, других действительных решений нет.